Question

【題目】如圖，已知二次函數圖象的對稱軸為直線x=2，頂點為點C，直線y=x+m與該二次函數的圖象交于點A，B兩點，其中點A的坐標為（5，8），點B在y軸上．

（1）求m的值和該二次函數的表達式．P為線段AB上一個動點（點P不與A，B兩點重合），過點P作x軸的垂線，與這個二次函數的圖象交于點E．
①設線段PE的長為h，求h與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．
②若直線AB與這個二次函數圖象的對稱軸的交點為D，求當四邊形DCEP是平行四邊形時點P的坐標．
（2）若點P（x，y）為直線AB上的一個動點，試探究：以PB為直徑的圓能否與坐標軸相切？如果能請求出點P的坐標，如果不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解： A的坐標為（5，8）在直線y=x+m上，

∴8=5+m，

∴m=3，

∴直線AB解析式為y=x+3，

∴B（0，3），

設拋物線解析式為y=a（x﹣2）2+k，

∵點A，B在拋物線上，

∴ ，

∴ ，

∴拋物線解析式為y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3，頂點C（2，﹣1）

①∵點P在線段AB上，

∴P（x，x+3）（0≤x≤5），

∵PE⊥x軸，交拋物線與E，P（x，x+3），

∴E（x，x2﹣4x+3），

∴h=PE=x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+5x，（0≤x≤5）

②∵直線AB與這個二次函數圖象的對稱軸的交點為D，

∴D（2，5），

∴DC=6，

∵四邊形DCEP是平行四邊形，

∴PE=DC=6，

∵PE=|﹣x2+5x|，

Ⅰ、當0≤x≤5時，﹣x2+5x=6，

∴x1=2（舍），x2=3，

∴P（3，6），

Ⅱ、當x＜0，或x＞5時，x2﹣5x=6，

∴x3=﹣1，x4=6，

∴P（﹣1，2）或P（6，9），（舍）

即：點P的坐標為（3，6）

（2）解：∵點P（x，y）為直線AB上的一個動點，

∴P（x，x+3），

∴點P到x軸的距離為|x+3|，到y軸的距離為|x|，

∵點B（0，3），

∴BP= |x|，

∵以PB為直徑的圓能與坐標軸相切，

∴①以PB為直徑的圓能與y軸相切，

∴|x|= |x|，

∴x=0（舍），

②以PB為直徑的圓能與x軸相切，

∴|x+3|= |x|，

∴x=﹣6﹣3 或x=﹣6+3 ，

∴P（﹣6﹣3 ，﹣3+3 ）或P（﹣6﹣3 ，﹣3﹣3 ）．

故存在點P，坐標為P（﹣6+3 ，﹣3+3 ）或P（﹣6﹣3 ，﹣3﹣3 ）時，以PB為直徑的圓能與坐標軸相切

【解析】（1）易由點A的坐標為（5，8）可得直線AB解析式為y=x+3；從而求得B（0，3），結合對稱軸直線x=2，可利用頂點式求得拋物線解析式，頂點C為（2，﹣1）。①從而PE的長為兩個函數的差PE=x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+5x，（0≤x≤5）②易得直線AB與這個二次函數圖象的對稱軸的交點為D，點D坐標易得為（2，5），由四邊形DCEP是平行四邊形，PE=DC=6，由①中的函數解析式可得當0≤x≤5時，﹣x2+5x=6；當x＜0，或x＞5時，x2﹣5x=6計算得到點P的坐標為（3，6）
（2）由點P（x，y）為直線AB上的一個動點，可得P（x，x+3）所以點P到x軸的距離為|x+3|，到y軸的距離為|x|，由點B可得BP的長，可判斷能與坐標軸相切；分類討論與x軸或Y軸兩種情況，可得最后結果及P取何值時可相切。