Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+4的圖象與x軸交于點(diǎn)A（4，0）和點(diǎn)D（-1，0），與y軸交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作BC平行于x軸交拋物線于點(diǎn)B，連接AC
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)N從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停動(dòng)，過(guò)點(diǎn)N作NQ垂直于BC交AC于點(diǎn)Q，連結(jié)MQ
①求△AQM的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式，寫(xiě)出自變量的取值范圍；當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值，并求出S的最大值；
②是否存在點(diǎn)M，使得△AQM為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+3x+4；（2）①S＝(t)2+（0≤t≤2）．當(dāng)t=時(shí)，S最大值=；②存在點(diǎn)M，（1，0）和（2，0）．

【解析】

（1）由待定系數(shù)法將AD兩點(diǎn)代入即可求解．
（2）①分別用t表示出AM、PQ，由三角形面積公式直接寫(xiě)出含有t的二次函數(shù)關(guān)系式，由二次函數(shù)的最大值可得答案；
②分類(lèi)討論直角三角形的直角頂點(diǎn)，然后解出t，求得M坐標(biāo)．

（1）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A（4，0）和點(diǎn)D（-1，0），
∴ ，
解得 ，
所以，二次函數(shù)的解析式為y=-x2+3x+4．
（2）①延長(zhǎng)NQ交x軸于點(diǎn)P，

∵BC平行于x軸，C（0，4）
∴B（3，4），NP⊥OA．
根據(jù)題意，經(jīng)過(guò)t秒時(shí)，NB=t，OM=2t，
則CN=3-t，AM=4-2t．
∵∠BCA=∠MAQ=45°，
∴QN=CN=3-t，
∴PQ=NP-NQ=4-（3-t）=1+t，
∴S△AQM＝AM×PQ＝ (42t)(1+t)
=-t2+t+2．
∴S＝t2+t+2＝(t)2+．
∵a=-1＜0，且0≤t≤2，

∴S有最大值．
當(dāng)t=時(shí)，S最大值=．
②存在點(diǎn)M，使得△AQM為直角三角形．
設(shè)經(jīng)過(guò)t秒時(shí)，NB=t，OM=2t，
則CN=3-t，AM=4-2t，
∵∠BCA=∠MAQ=45°．
Ⅰ．若∠AQM=90°，
則PQ是等腰Rt△MQA底邊MA上的高．
∴PQ是底邊MA的中線，
∴PQ=AP=MA，
∴1+t=（4-2t），
解得，t=，
∴M的坐標(biāo)為（1，0）．
Ⅱ．若∠QMA=90°，此時(shí)QM與QP重合．
∴QM=QP=MA，
∴1+t=4-2t，
∴t=1，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0）．
所以，使得△AQM為直角三角形的點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為（1，0）和（2，0）．