Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O的切線BF上，過C作直線CE⊥BF，交⊙O于點D、點E，連接AE、
AD和BD．
（1）請找出一對相似三角形，并證明你的結論；
（2）若CD=1，AB=5，求tan∠ADE的值．

Answer 1

分析：（1）由已知BF是⊙O的切線，可推出∠CBD=∠BAD，又AB是⊙O的直徑，CE⊥BF，所以∠ADB=∠BCD=90°，所以△ADB∽△BCD．
（2）已知CE⊥BF，點C在⊙O的切線BF上，∴∠ABC=∠DCF，則AB∥CE，∴∠ADE=∠BAD，所以求出tan∠BAD即得tan∠ADE的值．由（1）△ADB∽△BCD得

CD

BD

=

BD

AB

，則能求出BD，再根據勾股定理求出AD，所以求出tan∠BAD．

解答：解：（1）△ADB∽△BCD．
∵已知BF是⊙O的切線，
∴∠CBD=∠BAD，
又AB是⊙O的直徑，CE⊥BF，
∴∠ADB=∠BCD=90°，
∴△ADB∽△BCD．

（2）已知CE⊥BF，點C在⊙O的切線BF上，
∴∠ABC=∠DCF，
∴AB∥CE，
∴∠ADE=∠BAD，
∵△ADB∽△BCD，
∴

CD

BD

=

BD

AB

，
∴BD²=CD•AB=1×5=5，
∴BD=

5

，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
AD=

AB2-BD2

=

52-( 5 )2

=2

5

，
∴tan∠BAD=

BD

AD

=

5

2 5

=

1

2

，
∴tan∠ADE=tan∠BAD=

1

2

．

點評：此題考查的知識點是切線的性質、相似三角形的判定與性質及解直角三角形，關鍵是運用好切線的性質及相似三角形的性質及勾股定理．