Question

【題目】（1）問題發現：如圖1，如果△ACB和△CDE均為等邊三角形，點A、D、E在同一直線上，連接BE.則AD與BE的數量關系為　 　；∠AEB的度數為　 　度.

（2）拓展探究：如圖2，如果△ACB和△CDE均為等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A、D、E在同一直線上，連接BE，判斷線段AE與BE的位置關系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）相等，60；（2）AE⊥BE，理由見解析.

【解析】

（1）由條件△ACB和△DCE均為等邊三角形，易證△ACD≌△BCE，從而得到對應邊相等，即AD=BE；由△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC，由點A，D，E在同一直線上，可求出∠ADC=120°，從而可以求出∠AEB的度數；

（2）首先根據△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，據此判斷出∠ACD=∠BCE；然后根據全等三角形的判定方法，判斷出△ACD≌△BCE，即可判斷出BE=AD，∠BEC=∠ADC，進而判斷出∠AEB的度數為90°．

（1）∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACD=∠BCE．

在△ACD和△BCE中，

∵，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，

∵△ACD≌△BCE，

∴∠ADC=∠BEC，

∵△DCE為等邊三角形，

∴∠CDE=∠CED=60°，

∵點A，D，E在同一直線上，

∴∠ADC=120°，

∴∠BEC=120°，

∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°，

故答案為：相等，60；

（2）AE⊥BE，

∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∠CDE=∠CED=45°，

∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，

即∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

∵，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴BE=AD，∠BEC=∠ADC，

∵點A，D，E在同一直線上，

∴∠ADC=180-45=135°，

∴∠BEC=135°，

∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°，即AE⊥BE．