Question

【題目】已知，如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，正方形A′B′C′D′的頂點A′與點O重合，A′B′交BC于點E，A′D′交CD于點F．

（1）求證：OE=OF；
（2）若正方形ABCD的對角線長為4，求兩個正方形重疊部分的面積為 ．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵正方形ABCD的對角線AC、BD交于點O

∴∠BOC=90°，∠OBC=∠OCD=∠OCF=45°，OB=OC，

∵正方形A'B'C'D'的A'B'交BC于點E，A'D'交CD于點F．

∴∠EOF=90°

∵∠BOE=∠EOF﹣∠EOC=90°﹣∠EOC

∠COF=∠BOC﹣∠EOC=90°﹣∠EOC

∴∠BOE=∠COF．

在△OBE和△OCF中，

，

∴△BOE≌△COF（ASA）．

∴OE=OF

（2）2
【解析】（2）解：∵△BOE≌△COF，
∴S△BOE=S△COF
∴S△EOC+S△COF=S△EOC+S△BOE ，
即S四邊形OECF=S△BOC ．
∵S△BOC=2，
∴兩個正方形重疊部分的面積為2．
所以答案是：2．
【考點精析】本題主要考查了正方形的性質的相關知識點，需要掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．