Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CP平分∠ACB交邊AB于點P，點D在邊AC上，連接PD.

(1)如果PD∥BC，求證：AC·CD＝AD·BC；

(2)如果∠BPD＝135°，求證：CP2＝CB·CD.

Answer 1

【答案】(1) 證明見解析;(2)證明見解析.

【解析】試題分析: （1）根據角平分線的性質和平行線的性質證得∠CPD=∠PCA，得出PD=CD，然后證得△APD∽△ABC，根據相似三角形的性質即可證得結論；

（2）根據三角形內角和定理求得∠B=∠CPD，即可證得△PCB∽△PDC根據相似三角形的性質即可證得結論．

試題解析:

證明：(1)∵PD∥BC，

∴∠PCB＝∠CPD.

∵CP平分∠ACB，

∴∠PCB＝∠PCA，

∴∠CPD＝∠PCA，

∴PD＝CD.

∵PD∥BC，

∴△APD∽△ABC，

∴＝，

∴AC·PD＝AD·BC，

∴AC·CD＝AD·BC.

(2)∵∠ACB＝90°，CP平分∠ACB，

∴∠PCB＝∠PCA＝45°.

∵∠B＋∠PCB＋∠CPB＝180°，

∴∠B＋∠CPB＝180°－∠PCB＝135°.

∵∠BPD＝135°，

∴∠CPB＋∠CPD＝135°，

∴∠B＝∠CPD，

∴△PCB∽△DCP，

∴＝，

∴CP2＝CB·CD.