Question

如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠C=60°，AD=3cm，BC=9cm．⊙O₁的圓心O₁從點A開始沿折線A-D-C以1cm/s的速度向點C運動，⊙O₂的圓心O₂從點B開始沿BA邊以cm/s的速度向點A運動，⊙O₁半徑為2cm，⊙O₂的半徑為4cm，若O₁、O₂分別從點A、點B同時出發，運動的時間為t．
（1）請求出⊙O₂與腰CD相切時t的值；
（2）在0s＜t≤3s范圍內，當t為何值時，⊙O₁與⊙O₂外切？

Answer 1

解：（1）如圖所示，設點O₂運動到點E處時，⊙O₂與腰CD相切．
過點E作EF⊥DC，垂足為F，則EF=4cm．
方法一：作EG∥BC，交DC于G，作GH⊥BC，垂足為H．
由直角三角形GEF中，∠EGF+∠GEF=90°，
又∠EGF+∠CGH=90°，
∴∠GEF=∠CGH=30°，
設FG=xcm，則EG=2xcm，又EF=4cm，
根據勾股定理得：x²+4²=（2x）²，解得x=，
則HB=GE=cm，又在直角三角形CHG中，∠C=60°，
∴CH=（9-）cm，
則EB=GH=CHtan60°=cm．
所以，t=（）秒．
方法二：延長EA、FD交于點P．通過相似三角形，也可求出EB長．
方法三：連接ED、EC，根據面積關系，列出含有t的方程，直接求t．

（2）由于0s＜t≤3s，所以，點O₁在邊AD上．
如圖連接O₁O₂，則O₁O₂=6cm．
由勾股定理得，
t²+（6-t）²=6²，
即t²-9t+18=0．
解得：t₁=3，t₂=6（不合題意，舍去）．
所以，經過3秒，⊙O₁與⊙O₂外切．
分析：（1）先設⊙O₂運動到E與CD相切，且切點是F；連接EF，并過E作EG∥BC，交CD于G，再過G作GH⊥BC于H，那么就得到直角三角形EFG和矩形GEBH．
要求⊙O₂與CD相切的時間，可以先求出⊙O₂從B到E所走的路程BE，即GH的長，再除以運動速度即可．
那么求GH的值就是關鍵，由∠C=60°，可以知道∠CGH=30°，那么∠FGE=60°．
在Rt△EFG中，可以利用勾股定理求出EG的值，那么CH=BC-BH=BC-EG．在Rt△CGH中，利用60°的角的正切值可求出GH的值，此問就可解了．
（2）因為s＜t＜3s，所以O₁一定在AD上，連接O₁O₂．
利用勾股定理可得到關于t的一元二次方程，求解即可，根據要求，可選擇t的值．
點評：本題利用了切線的性質，勾股定理，正切值的計算，以及公式s=vt，矩形的判定和性質，兩圓外切的性質．
注意用含t的代數式來表示線段的長．