Question

（2006•攀枝花）已知拋物線y=ax²+bx+c與y軸的交點為C，頂點為M，直線CM的解析式y=-x+2并且線段CM的長為．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設拋物線與x軸有兩個交點A（x₁，0）、B（x₂，0），且點A在B的左側，求線段AB的長；
（3）若以AB為直徑作⊙N，請你判斷直線CM與⊙N的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用C為拋物線和直線的公共點，根據直線解析式可求得C點坐標，進而求出c的值；利用M為拋物線和直線的公共點，將拋物線頂點坐標代入直線，求出b的值；過M點作y軸的垂線，垂足為Q，構造直角三角形，利用勾股定理求出a的值；
（2）依據兩點之間距離公式求解即可．已知拋物線與x軸有兩個交點，故求出拋物線應為：y=-x²-2x+2．拋物線與x軸有兩個交點且點A在B的左側，故|AB|=|x₁-x₂|=4；
（3）求出⊙N半徑和直線到圓心的距離，比較它們的大小即可判斷其位置關系．
解答：
解：（1）解法一：
由已知，直線CM：y=-x+2與y軸交于點C（0，2）
拋物線y=ax²+bx+c過點C（0，2），
所以c=2，拋物線y=ax²+bx+c的頂點M（-，）在直線CM上，
所以=+2，
解得b=0或b=-2（2分）
若b=0，點C、M重合，不合題意，舍去，
所以b=-2．即M（，2-）
過M點作y軸的垂線，垂足為Q，
在Rt△CMQ中，CM²=CQ²+QM²
所以，8=（）²+[2-（2-）]²，
解得，a=±．
∴所求拋物線為：y=-x²-2x+2或y=x²-2x+2（4分）
以下同下．
解法二：由題意得C（0，2），
設點M的坐標為M（x，y）
∵點M在直線y=-x+2上，
∴y=-x+2
由勾股定理得CM=，
由勾股定理得CM=，
∵CM=2，即x²+（y-2）²=8
解方程組
得，（2分）
∴M（-2，4）或M‘（2，0）
當M（-2，4）時，
設拋物線解析式為y=a（x+2）²+4，
∵拋物線過（0，2）點，
∴a=-，
∴y=-x²-2x+2（3分）
當M‘（2，0）時，
設拋物線解析式為y=a（x-2）²
∵拋物線過（0，2）點，
∴a=，
∴y=-x²-2x+2
∴所求拋物線為：y=-x²-2x+2或y=x²-2x+2（4分）；

（2）∵拋物線與x軸有兩個交點，
∴y=x²-2x+2不合題意，舍去．
∴拋物線應為：y=-x²-2x+2（6分）
拋物線與x軸有兩個交點且點A在B的左側，
∴y=-x²-2x+2=0，
得AB=|x₁-x₂|==4；（8分）
（3）∵AB是⊙N的直徑，
∴r=，N（-2，0），
又∵M（-2，4），
∴MN=4
設直線y=-x+2與x軸交于點D，則D（2，0），
∴DN=4，可得MN=DN，
∴∠MDN=45°，作NG⊥CM于G，在Rt△NGD中，
NG=DN•sin45°=2=r（10分）
即圓心到直線CM的距離等于⊙N的半徑
∴直線CM與⊙N相切（12分）．
點評：此題作為壓軸題，綜合考查了二次函數及圓的相關知識．本題綜合性較強，綜合了函數、方程、圓等知識，解第3小題時可以根據圖形的直觀對結論進行猜想再證明．