Question

設x₁、x₂是關于x的一元二次方程x²+ax+a=2的兩個實數根，則（x₁-2x₂）（x₂-2x₁）的最大值為

 

．

Answer 1

分析：x₁、x₂是關于x的一元二次方程x²+ax+a=2的兩個實數根，根據根與系數的關系，表示出a的二次函數的形式，然后求解．

解答：解：∵△=a²-4（a-2）=a²-4a+8=（a-2）²+4＞0，
∴對于任意實數a，原方程總有兩個實數根．
由根與系數的關系得：x₁+x₂=-a，x₁x₂=a-2，
∴（x₁-2x₂）（x₂-2x₁）=-2（x₁+x₂）²+9x₁x₂，
=-2a²+9a-18，
=-2（a-

9

4

）²-

63

8

，
∴當a=

9

4

時，原式有最大值-

63

8

．
故答案為：-

63

8

．

點評：本題考查了根與系數的關系及根的判別式，難度不大，關鍵是熟記x₁，x₂是方程x²+px+q=0的兩根時，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，反過來可得p=-（x₁+x₂），q=x₁x₂．