Question

【題目】如圖，在△ABC中，點D、E分別是邊AB、AC的中點，將△ADE繞點E旋轉180°得到△CFE ．

（1）求證：四邊形ADCF是平行四邊形．
（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCF是正方形？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解答：證明：∵△CFE是由△ADE繞點E旋轉180°得到，

∴點A、E、C三點共線，點D、E、F三點共線，且AE＝CE，DE＝FE，故四邊形ADCF是平行四邊形．

（2）

解答：解：當∠ACB＝90°，AC＝BC時，四邊形ADCF是正方形．

理由如下：在△ABC中，∵AC＝BC，AD＝BD，點D是邊AB的中點，

∴CD⊥AB，即∠ADC＝90°，

而由（1）知，四邊形ADCF是平行四邊形，

∴四邊形ADCF是矩形．

又∵∠ACB＝90°，

∴CD＝ AB＝AD，

故四邊形ADCF是正方形．

【解析】（1）利用旋轉的性質得出點A、E、C三點共線，點D、E、F三點共線，且AE＝CD ， DE＝FE ， 即可得出答案；（2）首先得出CD⊥AB ， 即∠ADC＝90°，由（1）知，四邊形ADCF是平行四邊形，故四邊形ADCF是矩形．進而求出CD＝AD即可得出答案．
【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的判定和正方形的判定方法的相關知識點，需要掌握兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；先判定一個四邊形是矩形，再判定出有一組鄰邊相等；先判定一個四邊形是菱形，再判定出有一個角是直角才能正確解答此題．