Question

【題目】如圖1，點C在線段AB上，（點C不與A、B重合），分別以AC、BC為邊在AB同側作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE，連接AE、BD交于點P．

（觀察猜想）

①AE與BD的數量關系是　 　；

②∠APD的度數為　 　．

（數學思考）

如圖2，當點C在線段AB外時，（1）中的結論①、②是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結論再給予證明；

（拓展應用）

如圖3，點E為四邊形ABCD內一點，且滿足∠AED＝∠BEC＝90°，AE＝DE，BE＝CE，對角線AC、BD交于點P，AC＝10，則四邊形ABCD的面積為　 　．

Answer 1

【答案】【觀察猜想】：①AE＝BD．②∠APD＝60°．理由見解析；【數學思考】：結論仍然成立，證明見解析；【拓展應用】：50.

【解析】

觀察猜想：證明△ACE≌△DCB（SAS），可得AE＝BD，∠CAO＝∠ODP，由∠AOC＝∠DOP，推出∠DPO＝∠ACO＝60°；

數學思考：結論成立，證明方法類似；

拓展應用：證明AC⊥BD，可得S四邊形ABCD＝ACDP+ACPB＝AC（DP+PB）＝ACBD．

觀察猜想：結論：AE＝BD．∠APD＝60°．

理由：設AE交CD于點O．

∵△ADC，△ECB都是等邊三角形，

∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，

∴∠ACE＝∠DCB，

∴△ACE≌△DCB（SAS），

∴AE＝BD，∠CAO＝∠ODP，

∵∠AOC＝∠DOP，

∴∠DPO＝∠ACO＝60°，

即∠APD＝60°．

故答案為AE＝BD，60°．

數學思考：結論仍然成立．

理由：設AC交BD于點O．

∵△ADC，△ECB都是等邊三角形，

∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，

∴∠ACE＝∠DCB

∴△ACE≌△DCB（SAS），

∴AE＝BD，∠PAO＝∠ODC，

∵∠AOP＝∠DOC，

∴∠APO＝∠DCO＝60°，

即∠APD＝60°．

拓展應用：

設AC交BE于點O．

∵△ADE，△ECB都是等腰直角三角形，

∴ED＝EA，∠AED＝∠BEC＝90°，CE＝EB，

∴∠AEC＝∠DEB

∴△AEC≌△DEB（SAS），

∴AC＝BD＝10，∠PBO＝∠OCE，

∵∠BOP＝∠EOC，

∴∠BPO＝∠CEO＝90°，

∴AC⊥BD，

∴S四邊形ABCD＝ACDP+ACPB＝AC（DP+PB）＝ACBD＝50．

故答案為：50．