Question

【題目】如圖，在⊙O中，直徑AB⊥CD，垂足為E，點M在OC上，AM的延長線交⊙O于點G，交過C的直線于F，∠1=∠2，連結CB與DG交于點N．

（1）求證：CF是⊙O的切線；

（2）求證：△ACM∽△DCN；

（3）若點M是CO的中點，⊙O的半徑為4，cos∠BOC=，求BN的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）BN=．

【解析】試題分析：(1)、根據BO=CO得出∠B=∠BCO，根據∠2+∠B=90°，∠1=∠2得出∠1+∠BCO=90°，從而得到切線；(2)、根據AB為直徑得到∠ACB=∠FCO=90°，從而得出∠3=∠1，即∠3=∠2，結合∠4=∠D得出三角形相似；(3)、根據題意得出BE和AE的長度，然后根據勾股定理得出CE、AC和BC的長度，最后根據△ACM∽△DCN得出CN的長度，從而根據BN=BC-CN得出答案.

試題解析：(1)、∵△BCO中，BO=CO， ∴∠B=∠BCO，

在△BCE中，∠2+∠B=90°， 又∵∠1=∠2， ∴∠1+∠BCO=90°， 即∠FCO=90°，

∴CF是⊙O的切線；

（2）∵AB是⊙O直徑， ∴∠ACB=∠FCO=90°， ∴∠ACB﹣∠BCO=∠FCO﹣∠BCO，

即∠3=∠1， ∴∠3=∠2，∵∠4=∠D， ∴△ACM∽△DCN；

（3）∵⊙O的半徑為4，即AO=CO=BO=4， 在△COE中，∠BOC=，

∴OE=CO∠BOC=4×=1，

由此可得：BE=3，AE=5，由勾股定理可得：CE===，

AC===2， BC===2，

∵AB是⊙O直徑，AB⊥CD， ∴由垂徑定理得：CD=2CE=2，

∵△ACM∽△DCN， ∴=， ∵點M是CO的中點，CM=AO=×4=2，

∴CN===， ∴BN=BC﹣CN=2﹣=．