Question

【題目】如圖．矩形ABCD的對角線相交于點O．DE∥AC，CE∥BD．
（1）求證：四邊形OCED是菱形；
（2）若∠ACB=30°，菱形OCED的面積為8 ，求AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵DE∥OC，CE∥OD，

∴四邊形OCED是平行四邊形．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AO=OC=BO=OD．

∴四邊形OCED是菱形

（2）解：∵∠ACB=30°，

∴∠DCO=90°﹣30°=60°．

又∵OD=OC，

∴△OCD是等邊三角形．

過D作DF⊥OC于F，則CF= OC，設CF=x，則OC=2x，AC=4x．

在Rt△DFC中，tan60°= ，

∴DF= x．

∴OCDF=8 ．

∴x=2．

∴AC=4×2=8．

【解析】（1）熟記菱形的判定定理，本題可用一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．（2）因為∠ACB=30°可證明菱形的一條對角線和邊長相等，可證明和對角線構成等邊三角形，然后作輔助線，根據菱形的面積已知可求解．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用矩形的性質和解直角三角形的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等；解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)．