Question

如圖，⊙O的半徑為2，弧AB等于120°，E是劣弧AB的中點．
（1）如圖①，試說明：點O、E關于AB對稱（即AB垂直平分OE．）；
（2）把劣弧AB沿直線AB折疊（如圖②）⊙O的動弦CD始終與折疊后的弧AB相切，求CD的長度的變化范圍．

Answer 1

（1）證明：連接OA，OB，AE，BE，OE，且AB與OE交于點C．
∵E是劣弧AB的中點，∴OE⊥AB，且AC=BC（垂徑定理），
∠AOE=∠BOE=

1

2

∠AOB．
∵

AB

=120°，∴∠AOB=120，∠AOE=∠BOE=60°．
∵AO=OE，∴△AOE是等邊三角形．
∴OC=EC（等腰三角形“三線合一”）
∴AB垂直平分OE．
因此，點O，E關于AB對稱．

（2）當弦CD過圓心O時最長，即是直徑，CD=4；
當弦CD過A或B與折疊后的弧相切時最短．這時CD與AE垂直（假設C與點A重合）．
連接DE，則DE過圓心O（直角所對的弦是直徑），
∵∠AED=60度（在證對稱時已證），
AE=AO=2，ED=4，所以，AD=

16-4

=2

3

．
CD的長度變化范圍是：2

3

≤CD≤4．