Question

（2012•錦州二模）如圖，已知PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B是切點，連接OP．
（1）求證：PA=PB；
（2）若⊙O的半徑為2，PA=2

3

，求陰影部分面積．

Answer 1

分析：（1）連接OA、OB，利用切線的性質和全等三角形的證明方法證明Rt△PAO≌Rt△PBO即可；
（2）利用三角形的面積公式及扇形的面積公式求出四邊形PAOB的面積與扇形OAB的面積，兩者相減即可求出陰影部分的面積．

解答：（1）證明：連接OA、OB，
∵PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B是切點，
∴∠OAP=∠OBP=90°．
又∵OA=OB，
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
∵PO=PO，OA=OB，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）．
∴PA=PB；
（2）解：由（1）知△PAO≌△PBO，
∴∠APO=∠BPO，∠AOP=∠BOP．
在Rt△PAO中，OA=2，PA=2

3

，
tan∠APO=

AO

PA

=

2

2 3

=

3

3

，
∴∠APO=30°，∠AOP=60°．
∴∠AOB=120°，
S_陰影=S_{四邊形APBO}-S_扇形=2S_△PAO-S_扇形=2×

1

2

×2×2

3

-

120×π×22

360

=4

3

-

4π

3

．

點評：此題考查了切線的性質，直角三角形的性質及陰影部分面積的求法．陰影部分面積的求法是：規則圖形根據面積公式來求；不規則圖形采用“割補湊正法”，即將不規則的圖形通過割補拼湊成一個或幾個規則的圖形，從而求出陰影部分面積．遇到切線，往往連接圓心與切點，構造直角三角形來解題．