Question

如圖1，在△ABC和△DBE中，AB=AC，DB=DE，∠CAB+∠BDE=180°，∠CAB=α，P為CE的中點，連接AP、DP．若α=120°，探究線段AP、DP的關系．
說明：如果你經過反復探索沒有解決問題，可以更改條件將“α=120°”改為“α=90°”，選取圖2完成證明得10分．

Answer 1

分析：根據等腰三角形的性質得出∠AGB=∠BHD，∠ABG=∠1，即可得出△AGB∽△BHD，進而得出四邊形GPHB為平行四邊形，再得出△DHP∽△PGA，得出線段AP、DP的關系．

解答：解：AP⊥DP，

3

AP=DP．
分別取BC、BE的中點G、H，連接AG、PG、DH、PH，
∵AB=AC，∴∠AGB=90°，
又∵α=120°，
∴∠GAB=

1

2

α=60°，∠ABG=30°，BG=

3

AG，
∵∠CAB+∠BDE=180°，∴∠BDE=60°，
同理可得∠DHB=90°，∠1=30°，
∴∠AGB=∠BHD，∠ABG=∠1，
∴△AGB∽△BHD，
∴

DH

BG

=

BH

AG

，
∵P為CE的中點，H為BE的中點，
∴PH∥BG，PH=

1

2

BC=BG，
∴四邊形GPHB為平行四邊形，
∴BH=PG，∠2=∠3，
∴

DH

PH

=

PG

AG

，即

DH

PG

=

PH

AG

，∠DHP=∠PGA，
∴△DHP∽△PGA，
∴∠4=∠5，

PD

PA

=

PH

AG

=

BG

AG

=

3

，
∠6=∠5+90°=∠4+∠APD，
∴∠APD=90°，
即AP⊥DP，

3

AP=DP．

點評：此題主要考查了等腰三角形的性質以及相似三角形的性質與判定和平行四邊形的判定，熟練應用相似三角形的性質得出是解題關鍵．