Question

23、如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E，F．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）若AC與BD交于點O，求證：AO=CO．

Answer 1

分析：（1）由BF=DE，可得BE=CF，由AE⊥BD，CF⊥BD，可得∠AEB=∠CFD=90°，又由AB=CD，在直角三角形中利用HL即可證得：△ABE≌△CDF；
（2）由△ABE≌△CDF，即可得∠ABE=∠CDF，根據內錯角相等，兩直線平行，即可得AB∥CD，又由AB=CD，根據有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即即可證得四邊形ABCD是平行四邊形，則可得AO=CO．

解答：證明：（1）∵BF=DE，
∴BF-EF=DE-EF，
即BE=CF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∵AB=CD，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）；

（2）∵△ABE≌△CDF，
∴∠ABE=∠CDF，
∴AB∥CD，
∵AB=CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO=CO．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質與平行四邊形的判定與性質．此題難度不大，解題的關鍵是要注意數形結合思想的應用．