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整體代入的思想是數(shù)學(xué)中一種十分重要的思想方法.當(dāng)由已知的代數(shù)式中不能求出每個(gè)字母的值或求出的值比較繁瑣時(shí),往往通過(guò)對(duì)比已知條件和問(wèn)題之間的聯(lián)系,考慮在問(wèn)題中把已知條件(或其變式)整體代入,從而使計(jì)算變得簡(jiǎn)潔.例如,若2m+3n=5,則4m+6n=2(2m+3n)=2×5=10.

解答下面的問(wèn)題:

若x3-x-2=0,則的值是多少?

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:閱讀理解

閱讀下列解題過(guò)程,借鑒其中一種方法解答后面給出的試題:
問(wèn)題:某人買(mǎi)13個(gè)雞蛋,5個(gè)鴨蛋、9個(gè)鵝蛋共用去了9.25元;買(mǎi)2個(gè)雞蛋,4個(gè)鴨蛋、3個(gè)鵝蛋共用去了3.20元.試問(wèn)只買(mǎi)雞蛋、鴨蛋、鵝蛋各一個(gè)共需多少元.
分析:設(shè)買(mǎi)雞蛋,鴨蛋、鵝蛋各一個(gè)分別需x、y、z元,則需要求x+y+z的值.由題意,知
13x+5y+9z=9.25---(1)
2x+4y+3z=3.20----(2)

視x為常數(shù),將上述方程組看成是關(guān)于y、z的二元一次方程組,化“三元”為“二元”、化“二元”為“一元”從而獲解.
解法1:視x為常數(shù),依題意得
5y+9z=9.25-13x---(3)
4y+3z=3.20-2x----(4)

解這個(gè)關(guān)于y、z的二元一次方程組得
y=0.05+x
z=1-2x

于是x+y+z=x+0.05+x+1-2x=1.05.
評(píng)注:也可以視z為常數(shù),將上述方程組看成是關(guān)于x、y的二元一次方程組,解答方法同上,你不妨試試.
分析:視x+y+z為整體,由(1)、(2)恒等變形得5(x+y+z)+4(2x+z)=9.25,4(x+y+z)-(2x+z)=3.20.
解法2:設(shè)x+y+z=a,2x+z=b,代入(1)、(2)可以得到如下關(guān)于a、b的二元一次方
程組
5a+4b=9.25---(5)
4a-b=3.20----(6)

由⑤+4×⑥,得21a+22.05,a=1.05.
評(píng)注:運(yùn)用整體的思想方法指導(dǎo)解題.視x+y+z,2x+z為整體,令a=x+y+z,b=2x+z,代入①、②將原方程組轉(zhuǎn)化為關(guān)于a、b的二元一次方程組從而獲解.
請(qǐng)你運(yùn)用以上介紹的任意一種方法解答如下數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題:
購(gòu)買(mǎi)五種教學(xué)用具A1、A2、A3、A4、A5的件數(shù)和用錢(qián)總數(shù)列成下表:
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那么,購(gòu)買(mǎi)每種教學(xué)用具各一件共需多少元?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:閱讀理解

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家蘇步青在訪問(wèn)德國(guó)時(shí),德國(guó)一位數(shù)學(xué)家給他出了這樣一道題目:
甲、乙二人相對(duì)而行,他們相距10千米,甲每小時(shí)走3千米,乙每小時(shí)走2千米,甲帶著一條狗,狗每小時(shí)跑5千米,狗跑得快,它同甲一起出發(fā),碰到乙的時(shí)候向甲跑去,碰到甲的時(shí)候又向乙跑去,問(wèn)當(dāng)甲、乙兩人相遇時(shí),這條狗一共跑了多少千米?
蘇步青教授很快就解出了這道題目.同學(xué)們,你知道他是怎么解的嗎?
這道題最讓人迷惑不解的是甲身邊的那條狗.如果我們先計(jì)算狗從甲的身邊跑到乙的身邊的路程s,再計(jì)算狗從乙的身邊跑到甲的身邊的路程s,…,顯然把狗跑的路程相加,這樣很繁瑣,笨拙且不易計(jì)算.蘇教授從整體著眼,根據(jù)甲、乙出發(fā)到相遇經(jīng)歷的時(shí)間與狗所走的時(shí)間相等,即10÷(3+2)=2(小時(shí)),這樣就不難求出狗一共跑的路程是:5×2=10(千米).
蘇步青教授在解題時(shí),把注意力和著眼點(diǎn)放在問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)上,從而能觸及問(wèn)題的實(shí)質(zhì):狗從出發(fā)到甲、乙兩相遇所用的時(shí)間,恰好是甲、乙二人相遇所用的時(shí)間,從而使問(wèn)題得到巧妙地解決.蘇教授這種解決問(wèn)題的思想方法實(shí)際上就是數(shù)學(xué)中的整體思想的應(yīng)用.對(duì)于某些數(shù)學(xué)問(wèn)題,靈活運(yùn)用整體思想,常可化難為易,捷足先登.在解二元一次方程組時(shí),也要注意這種思想方法的應(yīng)用.
比如解方程組
x+2(x+2y)=4
x+2y=1

解:把②代入①得x+2×1=4,所以x=2
把x=2代入②得2+2y=1,解之,得y=-
1
2

所以方程組的解為
x=2
y=-
1
2

同學(xué)們,你會(huì)用同樣的方法解下面兩個(gè)方程嗎?試試看!
(1)
2x-3y-2=0
2x-3y+5
7
+2y=9
(2)
x-3y
3
-
1
3
=1
2x-
x-3y
x
=5

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

閱讀下列解題過(guò)程,借鑒其中一種方法解答后面給出的試題:
問(wèn)題:某人買(mǎi)13個(gè)雞蛋,5個(gè)鴨蛋、9個(gè)鵝蛋共用去了9.25元;買(mǎi)2個(gè)雞蛋,4個(gè)鴨蛋、3個(gè)鵝蛋共用去了3.20元.試問(wèn)只買(mǎi)雞蛋、鴨蛋、鵝蛋各一個(gè)共需多少元.
分析:設(shè)買(mǎi)雞蛋,鴨蛋、鵝蛋各一個(gè)分別需x、y、z元,則需要求x+y+z的值.由題意,知數(shù)學(xué)公式
視x為常數(shù),將上述方程組看成是關(guān)于y、z的二元一次方程組,化“三元”為“二元”、化“二元”為“一元”從而獲解.
解法1:視x為常數(shù),依題意得數(shù)學(xué)公式
解這個(gè)關(guān)于y、z的二元一次方程組得數(shù)學(xué)公式
于是x+y+z=x+0.05+x+1-2x=1.05.
評(píng)注:也可以視z為常數(shù),將上述方程組看成是關(guān)于x、y的二元一次方程組,解答方法同上,你不妨試試.
分析:視x+y+z為整體,由(1)、(2)恒等變形得5(x+y+z)+4(2x+z)=9.25,4(x+y+z)-(2x+z)=3.20.
解法2:設(shè)x+y+z=a,2x+z=b,代入(1)、(2)可以得到如下關(guān)于a、b的二元一次方
程組數(shù)學(xué)公式
由⑤+4×⑥,得21a+22.05,a=1.05.
評(píng)注:運(yùn)用整體的思想方法指導(dǎo)解題.視x+y+z,2x+z為整體,令a=x+y+z,b=2x+z,代入①、②將原方程組轉(zhuǎn)化為關(guān)于a、b的二元一次方程組從而獲解.
請(qǐng)你運(yùn)用以上介紹的任意一種方法解答如下數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題:
購(gòu)買(mǎi)五種教學(xué)用具A1、A2、A3、A4、A5的件數(shù)和用錢(qián)總數(shù)列成下表:

那么,購(gòu)買(mǎi)每種教學(xué)用具各一件共需多少元?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家蘇步青在訪問(wèn)德國(guó)時(shí),德國(guó)一位數(shù)學(xué)家給他出了這樣一道題目:
甲、乙二人相對(duì)而行,他們相距10千米,甲每小時(shí)走3千米,乙每小時(shí)走2千米,甲帶著一條狗,狗每小時(shí)跑5千米,狗跑得快,它同甲一起出發(fā),碰到乙的時(shí)候向甲跑去,碰到甲的時(shí)候又向乙跑去,問(wèn)當(dāng)甲、乙兩人相遇時(shí),這條狗一共跑了多少千米?
蘇步青教授很快就解出了這道題目.同學(xué)們,你知道他是怎么解的嗎?
這道題最讓人迷惑不解的是甲身邊的那條狗.如果我們先計(jì)算狗從甲的身邊跑到乙的身邊的路程s,再計(jì)算狗從乙的身邊跑到甲的身邊的路程s,…,顯然把狗跑的路程相加,這樣很繁瑣,笨拙且不易計(jì)算.蘇教授從整體著眼,根據(jù)甲、乙出發(fā)到相遇經(jīng)歷的時(shí)間與狗所走的時(shí)間相等,即10÷(3+2)=2(小時(shí)),這樣就不難求出狗一共跑的路程是:5×2=10(千米).
蘇步青教授在解題時(shí),把注意力和著眼點(diǎn)放在問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)上,從而能觸及問(wèn)題的實(shí)質(zhì):狗從出發(fā)到甲、乙兩相遇所用的時(shí)間,恰好是甲、乙二人相遇所用的時(shí)間,從而使問(wèn)題得到巧妙地解決.蘇教授這種解決問(wèn)題的思想方法實(shí)際上就是數(shù)學(xué)中的整體思想的應(yīng)用.對(duì)于某些數(shù)學(xué)問(wèn)題,靈活運(yùn)用整體思想,常可化難為易,捷足先登.在解二元一次方程組時(shí),也要注意這種思想方法的應(yīng)用.
比如解方程組
x+2(x+2y)=4
x+2y=1

把②代入①得x+2×1=4,所以x=2
把x=2代入②得2+2y=1,解之,得y=-
1
2

所以方程組的解為
x=2
y=-
1
2

同學(xué)們,你會(huì)用同樣的方法解下面兩個(gè)方程嗎?試試看!
(1)
2x-3y-2=0
2x-3y+5
7
+2y=9
(2)
x-3y
3
-
1
3
=1
2x-
x-3y
x
=5

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