Question

【題目】如圖甲，直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于點B、點C，經過B、C兩點的拋物線y=x2+bx+c與x軸的另一個交點為A，頂點為P．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）在該拋物線的對稱軸上是否存在點M，使以C，P，M為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請直接寫出所符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）當0＜x＜3時，在拋物線上求一點E，使△CBE的面積有最大值（圖乙、丙供畫圖探究）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于點B、點C，

∴B（3，0），C（0，3），

把B、C坐標代入拋物線解析式可得 ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=x2﹣4x+3

（2）

解：∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴拋物線對稱軸為x=2，P（2，﹣1），

設M（2，t），且C（0，3），

∴MC= = ，MP=|t+1|，PC= =2 ，

∵△CPM為等腰三角形，

∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三種情況，

①當MC=MP時，則有 =|t+1|，解得t= ，此時M（2， ）；

②當MC=PC時，則有 =2 ，解得t=﹣1（與P點重合，舍去）或t=7，此時M（2，7）；

③當MP=PC時，則有|t+1|=2 ，解得t=﹣1+2 或t=﹣1﹣2 ，此時M（2，﹣1+2 ）或（2，﹣1﹣2 ）；

綜上可知存在滿足條件的點M，其坐標為（2， ）或（2，7）或（2，﹣1+2 ）或（2，﹣1﹣2 ）

（3）

解：如圖，過E作EF⊥x軸，交BC于點F，交x軸于點D，

設E（x，x2﹣4x+3），則F（x，﹣x+3），

∵0＜x＜3，

∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，

∴S△CBE=S△EFC+S△EFB= EFOD+ EFBD= EFOB= ×3（﹣x2+3x）=﹣ （x﹣ ）2+ ，

∴當x= 時，△CBE的面積最大，此時E點坐標為（ ，﹣ ），

即當E點坐標為（ ，﹣ ）時，△CBE的面積最大

【解析】（1）由直線解析式可求得B、C坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；（2）由拋物線解析式可求得P點坐標及對稱軸，可設出M點坐標，表示出MC、MP和PC的長，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三種情況，可分別得到關于M點坐標的方程，可求得M點的坐標；（3）過E作EF⊥x軸，交直線BC于點F，交x軸于點D，可設出E點坐標，表示出F點的坐標，表示出EF的長，進一步可表示出△CBE的面積，利用二次函數的性質可求得其取得最大值時E點的坐標．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．