Question

取一副三角板按圖①拼接，固定三角板ADC，將三角板ABC繞點A依順時針方向旋轉一個大小為α的角（0°＜α≤45°得到⊿ABC^/，如圖②所示。試問：
【小題1】當α為多少度時，能使得圖②中AB∥CD？
【小題2】當旋轉至圖③位置，此時α又為多少度？圖③中你能找出哪幾對相似三角形，并求其中一對的相似比。
【小題3】連結BD，當0°＜α≤45°時，探尋∠DBC^/+∠CAC^/+∠BDC值的大小變化情況，并給出你的證明。

Answer 1

【小題1】由題意∠CAC′=α，

要使AB∥DC，須∠BAC=∠ACD，
∴∠BAC=30°，α=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC=45°-30°=15°，
即α=15°時，能使得AB∥DC．
【小題2】易得α=45°時，可得圖③，
此時，若記DC與AC'，BC'分別交于點E，F，
則共有兩對相似三角形：△BFC∽△ADC，△C'FE∽△ADE．
下求△BFC與△ADC的相似比：
在圖③中，設AB=a，則易得AC=  a．
則BC=（  -1）a， BC：AC=（ -1）a： a=1：（2+ ）
或（2-  ）：2．（8分）
注：△C'FE與△ADE的相似比為：C'F：AD=（ -  +1）： 或（  +  -2）：2
【小題3】∠DBC′+∠CAC′+∠BDC的值的大小沒有變化，總是105°，
當0°＜α≤45°時，總有△EFC′存在．
∵∠EFC′=∠BDC+∠DBC′，∠CAC′=α，∠FEC′=∠C+α，
又∵∠EFC′+∠FEC′+∠C′=180°，
∴∠BDC+∠DBC′+∠C+α+∠C′=180°，
又∵∠C′=45°，∠C=30°，
∴∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=105°．

解析