Question

設拋物線y=ax²+bx-2與x軸交于兩個不同的點A（-1，0）、B（m，0），與y軸交于點C，且∠ACB=90度．
（1）求m的值和拋物線的解析式；
（2）已知點D（1，n）在拋物線上，過點A的直線y=x+1交拋物線于另一點E．若點P在x軸上，以點P、B、D為頂點的三角形與△AEB相似，求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，△BDP的外接圓半徑等于

 

．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線的解析式可知C點坐標為（0，-2），即OC=2，由于∠ACB=90度，根據射影定理OC²=OA•AB，可求出AB的長，進而可求出B點的坐標，也就求出了m的值，然后將A、B的坐標代入拋物線中即可求出其解析式．
（2）可先根據拋物線的解析式和直線AE的解析式求出E點和D點的坐標，經過求解不難得出∠FDB=∠DBO=45°，因此本題要分兩種情況進行討論：①∠DPB=∠ABE；②∠PDB=∠ABE．可根據對應的相似三角形得出的成比例線段求出OP的長，進而可求出P點的坐標．
（3）以求△BP₁D的外接圓半徑為列進行說明：先作△BPD的外接圓，過P作直徑PM，連接DM，那么不難得出△PMD和△FBD相似，可得出

DP

PM

=

DF

BD

，可先求出DP，DF，BD的長，而PM是圓的直徑，由此可求出△BPD的外接圓的半徑．

解答：解：（1）令x=0，得y=-2，
∴C（0，-2），
∵∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴△AOC∽△COB，
∴OA•OB=OC²
∴OB=

OC2

OA

=

22

1

=4，
∴m=4，
將A（-1，0），B（4，0）代入y=ax²+bx-2，
得

a= 1 2 b=- 3 2

，
∴拋物線的解析式為y=

1

2

x²-

3

2

x-2．

（2）D（1，n）代入y=

1

2

x²-

3

2

x-2，得n=-3，
由

y= 1 2 x2- 3 2 x-2 y=x+1

，得

x1=-1 y1=0

，

x2=6 y2=7

，
∴E（6，7），
過E作EH⊥x軸于H，則H（6，0）
∴AH=EH=7
∴∠EAH=45°
過D作DF⊥x軸于F，則F（1，0）
∴BF=DF=3
∴∠DBF=45°
∴∠EAH=∠DBF=45°
∴∠DBH=135°，
90°＜∠EBA＜135°
則點P只能在點B的左側，有以下兩種情況：
①若△DBP₁∽△EAB，則

BP1

AB

=

BD

AE

∴BP₁=

AB•BD

AE

=

5×3 2

7 2

=

15

7

∴OP₁=4-

15

7

=

13

7

，
∴P₁（

13

7

，0）．
②若△DBP₂∽△BAE，則

BP2

AE

=

BD

AB

∴BP₂=

AE•BD

AB

=

7 2 ×3 2

5

=

42

5

∴OP₂=

42

5

-4=

22

5

∴P₂（-

22

5

，0）．
綜合①、②，得點P的坐標為：P₁（

13

7

，0）或P₂（-

22

5

，0）．

（3）

3 106

14

或

3 53

5

．
如圖所示：先作△BPD的外接圓，過P作直徑PM，連接DM，
∵∠PMD=∠PBD，∠DFP=∠PDM，
∴△PMD和△FBD相似，
∴

DP

PM

=

DF

BD

，
∴PD=

( 13 7 -1)2+(-3)2

=

477 49

=

3 53

7

，
DF=3，
BD=

(1-4)2+(-3)2

=3

2

，
∴PM=

DP•BD

DF

=

3 106

7

，
∴△BPD的外接圓的半徑=

3 106

14

；
同理可求出當P點在x軸的負半軸上時，△BPD的外接圓的半徑=

3 53

5

．

點評：本題考查二次函數解析式的確定、函數圖象交點、三角形相似以及△外接圓的半徑的求法等知識及綜合應用知識、解決問題的能力．
（要注意區別三角形內切圓和外接圓半徑求法的不同：三角形內切圓半徑通常用公式法求解．而三角形外接圓半徑通常要通過構建相似三角形來求解）．