Question

學習了勾股定理以后，有同學提出“在直角三角形中，三邊滿足a2＋b2＝c2，或許其他的三角形三邊也有這樣的關系”．讓我們來做一個實驗！ (1)畫出任意一個銳角三角形，量出各邊的長度(精確到1 mm)，較短的兩條邊長分別是a＝________mm；b＝________mm；較長的一條邊長c＝________mm．比較：a2＋b2________c2(填“＞”，“＜”或“＝”)． (2)畫出任意的一個鈍角三角形，量出各邊的長度(精確到1 mm)，較短的兩條邊長分別是a＝________mm；b＝________mm；較長的一條邊長c＝________mm．比較：a2＋b2________c2(填“＞”，“＜”或“＝”)． (3)根據以上的操作和結果，對這位同學提出的問題，你猜想的結論是________． 對你猜想a2＋b2與c2的兩個關系，利用勾股定理證明你的結論．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)(2)略． 　　(3)若△ABC是銳角三角形，則有a2＋b2＞c2； 　　若△ABC是鈍角三角形，∠C為鈍角，則有a2＋b2＜c2． 　　證明：①當△ABC是銳角三角形時，如圖， 　　過點A作AD⊥BC，垂足為D，設CD為x，則有BD＝a－x． 　　根據勾股定理，得AD2＝b2－x2，AD2＝c2－(a－x)2， 　　即b2－x2＝c2－a2＋2ax－x2． 　　∴a2＋b2＝c2＋2ax． 　　∵a＞0，x＞0， 　　∴2ax＞0． 　　∴a2＋b2＞c2． 　　②當△ABC是鈍角三角形時，如圖， 　　過B作BD⊥AC，交AC的延長線于點D． 　　設CD為x，則有BD2＝a2－x2． 　　根據勾股定理，得(b＋x)2＋a2－x2＝c2． 　　即a2＋b2＋2bx＝c2． 　　∵b＞0，x＞0，∴2bx＞0， 　　∴a2＋b2＜c2．