Question

已知：如圖，△ABC中，AB=AC，點D在BC上，過D點的直線分別交AB于點E，交AC的延長線于點F，且BE=CF．求證：DE=DF．

Answer 1

證明：如圖，過點E作EG∥AC交BC于G，
則∠ACB=∠BGE，∠F=∠DEG，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠BGE，
∴BE=GE，
又∵BE=CF，
∴GE=CF，
∵在△CDF和△GDE中，
，
∴△CDF≌△GDE（AAS），
∴DE=DF．
分析：過點E作EG∥AC交BC于G，根據兩直線平行，同位角相等可得∠ACB=∠BGE，內錯角相等可得∠F=∠DEG，再根據等邊對等角可得∠B=∠ACB，然后求出∠B=∠BGE，再根據等角對等邊可得BE=GE，從而得到GE=CF，利用“角角邊”證明△CDF和△GDE全等，根據全等三角形的可得DE=DF．
點評：本題考查了等腰三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．