Question

【題目】已知二次函數y=x2﹣2mx+4m﹣8

（1）當x≤2時，函數值y隨x的增大而減小，求m的取值范圍．
（2）以拋物線y=x2﹣2mx+4m﹣8的頂點A為一個頂點作該拋物線的內接正三角形AMN（M，N兩點在拋物線上），請問：△AMN的面積是與m無關的定值嗎？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．
（3）若拋物線y=x2﹣2mx+4m﹣8與x軸交點的橫坐標均為整數，求整數m的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：二次函數y=x2﹣2mx+4m﹣8的對稱軸是：x=m．

∵當x≤2時，函數值y隨x的增大而減小，

而x≤2應在對稱軸的左邊，

∴m≥2．

（2）解：如圖：

頂點A的坐標為（m，﹣m2+4m﹣8）

△AMN是拋物線的內接正三角形，

MN交對稱軸于點B，tan∠AMB=tan60°= = ，

則AB= BM= BN，

設BM=BN=a，則AB= a，

∴點M的坐標為（m+a， a﹣m2+4m﹣8），

∵點M在拋物線上，

∴ a﹣m2+4m﹣8=（m+a）2﹣2m（m+a）+4m﹣8，

整理得：a2﹣ a=0

得：a= （a=0舍去）

所以△AMN是邊長為2 的正三角形，

S△AMN= ×2 ×3=3 ，與m無關；

（3）解：當y=0時，x2﹣2mx+4m﹣8=0，

解得：x=m± =m± ，

∵拋物線y=x2﹣2mx+4m﹣8與x軸交點的橫坐標均為整數，

∴（m﹣2）2+4應是完全平方數，

∴m的最小值為：m=2．

【解析】（1）首先依據二次函數的對稱軸公式求得拋物線的對稱軸為x=m，由于a＞0可得到拋物線的開口向上，故此在對稱軸的左邊y隨x的增大而減小，從而可得到關于m的不等式；
（2）在拋物線內作出正三角形，頂點A的坐標為（m，﹣m2+4m﹣8），設BM=BN=a，則AB= a，故此可得到點M的坐標為（m+a， 3 a﹣m2+4m﹣8），然后將點M的坐標代入拋物線的解析式可求得a的值，從而得到等邊三角形的邊長，從而可求得△AMN的面積是m無關的定值；
（3）首先令y=0，從而可求出拋物線與x軸的兩個交點的坐標，然后確定整數m的值即可.