Question

【題目】如圖所示，在菱形紙片ABCD中，AB＝4，∠BAD＝60°，按如下步驟折疊該菱形紙片：

第一步：如圖①，將菱形紙片ABCD折疊，使點A的對應點A′恰好落在邊CD上，折痕EF分別與邊AD、AB交于點E、F，折痕EF與對應點A、A′的連線交于點G．

第二步：如圖②，再將四邊形紙片BCA′F折疊使點C的對應點C′恰好落在A′F上，折痕MN分別交邊CD、BC于點M、N．

第三步：展開菱形紙片ABCD，連接GC′，則GC′最小值是_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

注意到G為AA'的中點，于是可知G點的高度終為菱形高度的一半，同時注意到G在∠AFA'的角平分線上，因此作GH⊥AB于H，GP⊥A'F于P，則GP＝GH，根據垂線段最短原理可知GH就是所求最小值．

解：如圖，作GH⊥AB于H，DR⊥AB于R，GP⊥A'F于P，A'Q⊥AB于Q．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴DA＝AB＝BC＝CD＝4，AB∥CD，

∴A'Q＝DR，

∵∠BAD＝60°，

∴A'Q＝DR＝AD＝2，

∵A'與A關于EF對稱，

∴EF垂直平分AA'，

∴AG＝A'G，∠AFE＝∠A'FE，

∴GP＝PH，

又∵GH⊥AB，A'Q⊥AB

∴GH∥A'B，

∴GH＝A'Q＝DR＝，

所以GC'≥GP＝，當且僅當C'與P重合時，GC'取得最小值．

故答案為：．