Question

【題目】如圖，以原點O為圓心，3為半徑的圓與x軸分別交于A，B兩點（點B在點A的右邊），P是半徑OB上一點，過P且垂直于AB的直線與⊙O分別交于C，D兩點（點C在點D的上方），直線AC，DB交于點E．若AC：CE=1：2．

（1）求點P的坐標；

（2）求過點A和點E，且頂點在直線CD上的拋物線的函數表達式．

Answer 1

【答案】(1) P（1，0）．(2) y=x2﹣x﹣．

【解析】

試題分析：（1）如圖，作EF⊥y軸于F，DC的延長線交EF于H．設H（m，n），則P（m，0），PA=m+3，PB=3﹣m．首先證明△ACP∽△ECH，推出，推出CH=2n，EH=2m=6，再證明△DPB∽△DHE，推出，可得，求出m即可解決問題；

（2）由題意設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x﹣5），求出E點坐標代入即可解決問題.

試題解析：（1）如圖，作EF⊥y軸于F，DC的延長線交EF于H．設H（m，n），則P（m，0），PA=m+3，PB=3﹣m．

∵EH∥AP，

∴△ACP∽△ECH，

∴，

∴CH=2n，EH=2m=6，

∵CD⊥AB，

∴PC=PD=n，

∵PB∥HE，

∴△DPB∽△DHE，

∴，

∴，

∴m=1，

∴P（1，0）．

（2）由（1）可知，PA=4，HE=8，EF=9，

連接OP，在Rt△OCP中，PC=，

∴CH=2PC=4，PH=6，

∴E（9，6），

∵拋物線的對稱軸為CD，

∴（﹣3，0）和（5，0）在拋物線上，設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x﹣5），把E（9，6）代入得到a=，

∴拋物線的解析式為y=（x+3）（x﹣5），即y=x2﹣x﹣．