Question

【題目】把兩塊全等的直角三角形ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點D與三角板ABC的斜邊中點O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不動，讓三角板DEF繞點O旋轉，設射線DE與射線AB相交于點P，射線DF與線段BC相交于點Q．

（1）如圖1，當射線DF經過點B，即點Q與點B重合時，易證△APD∽△CDQ．此時，APCQ= ；

（2）將三角板DEF由圖1所示的位置繞點O沿逆時針方向旋轉，設旋轉角為α．其中0°＜α＜90°，問APCQ的值是否改變？說明你的理由；

（3）在（2）的條件下，設CQ=x，兩塊三角板重疊面積為y，求y與x的函數關系式．（圖2，圖3供解題用）

Answer 1

【答案】（1）8．（2）APCQ的值不會改變．（3）當2＜x＜4時，y=8﹣x﹣．當0＜x≤2時，y=4﹣x﹣（或y=）．

【解析】

試題分析：（1）可通過證△APD∽△CDQ來求解．

（2）不會改變，關鍵是還是證△APD∽△CDQ，已知了一組45°角，關鍵是證（1）中的∠APD=∠QDC，由于圖2由圖1旋轉而得，根據旋轉的性質可設旋轉角為α，那么∠APD=90°﹣α，∠CDQ=90°﹣α，因此兩角相等．由此可證得兩三角形相似．因此結論不變．

（3）本題分類兩種情況進行討論：①當0°＜α＜45°時②當45°≤α＜90°時．

解：（1）∵∠A=∠C=45°，∠APD=∠QDC=90°，

∴△APD∽△CDQ．

∴AP：CD=AD：CQ．

∴即AP×CQ=AD×CD，

∵AB=BC=4，

∴斜邊中點為O，

∴AP=PD=2，

∴AP×CQ=2×4=8；

故答案為：8．

（2）APCQ的值不會改變．

理由如下：

∵在△APD與△CDQ中，∠A=∠C=45°，

∠APD=180°﹣45°﹣（45°+α）=90°﹣α，

∠CDQ=90°﹣α，

∴∠APD=∠CDQ．

∴△APD∽△CDQ．

∴．

∴APCQ=ADCD=AD2=（AC）2=8．

（3）情形1：當0°＜α＜45°時，2＜CQ＜4，即2＜x＜4，

此時兩三角板重疊部分為四邊形DPBQ，過D作DG⊥AP于G，DN⊥BC于N，

∴DG=DN=2

由（2）知：APCQ=8得AP=

于是y=ABBC﹣CQDN﹣APDG

=8﹣x﹣（2＜x＜4）

情形2：當45°≤α＜90°時，0＜CQ≤2時，即0＜x≤2，此時兩三角板重疊部分為△DMQ，

由于AP=，PB=﹣4，易證：△PBM∽△DNM，

∴即解得．

∴MQ=4﹣BM﹣CQ=4﹣x﹣．

于是y=MQDN=4﹣x﹣（0＜x≤2）．

綜上所述，當2＜x＜4時，y=8﹣x﹣．

當0＜x≤2時，y=4﹣x﹣（或y=）．