Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝CD＝2，∠C＝60°，M是BC的中點．

（1）求證：△MDC是等邊三角形；
（2）將△MDC繞點M旋轉，當MD(即MD′)與AB交于一點E，MC(即MC′)同時與AD交于一點F時，點E，F和點A構成△AEF．試探究△AEF的周長是否存在最小值．如果不存在，請說明理由；如果存在，請計算出△AEF周長的最小值．

Answer 1

（1）證明：過點D作DP⊥BC，于點P，過點A作AQ⊥BC于點Q，

∵∠C＝∠B＝60°
∴CP＝BQ＝AB，CP＋BQ＝AB，
又∵ADPQ是矩形，AD＝PQ，
故BC＝2AD，
由已知，點M是BC的中點，
BM＝CM＝AD＝AB＝CD，
即△MDC中，CM＝CD，∠C＝60°，
故△MDC是等邊三角形．
（2）解：△AEF的周長存在最小值，理由如下：
連接AM，由（1）平行四邊形ABMD是菱形，
△MAB，△MAD和△MC′D′是等邊三角形，
∠BMA＝∠BME＋∠AME＝60°，∠EMF＝∠AMF＋∠AME＝60°，
∴∠BME＝∠AMF，
在△BME與△AMF中，BM＝AM，∠EBM＝∠FAM＝60°，
∴△BME≌△AMF(ASA)，
∴BE＝AF，ME＝MF，AE＋AF＝AE＋BE＝AB，
∵∠EMF＝∠DMC＝60°，故△EMF是等邊三角形，EF＝MF，
∵MF的最小值為點M到AD的距離，即EF的最小值是，
△AEF的周長＝AE＋AF＋EF＝AB＋EF，
△AEF的周長的最小值為2＋，
所以存在，△AEF的周長的最小值為2＋．

此題考核等邊三角形的判定，旋轉的性質