Question

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=3，AD=1，∠B=45°，直角三角板含45°角的頂點E在邊BC上移動，一直角邊始終經過點A，斜邊與CD交于點F．①當AB=BE時，CF=

 

；②AB=AE時，CF=

 

；③EA=EB時，CF=

 

．

Answer 1

分析：平移一腰，根據等腰梯形上下底邊的長度及底角度數求出腰長．①當AB=BE時，根據等腰三角形的性質先求出∠BEA的度數，再由平角的定義，等腰梯形的性質及三角形內角和定理求出∠FEC與∠CFE的度數，然后根據等腰三角形的判定得出CF=CE；②當AB=AE時，根據等腰三角形的性質得出∠BEA=∠B=45°，△ABE是等腰直角三角形，求出BE的長，則CE=BC-BE，再證△CEF是等腰直角三角形，從而得出CF=

2

CE；③EA=EB時，先證△ABE是等腰直角三角形，得出BE=

2

2

AB=1，則CE=BC-BE=2，再證點D與點F重合，△CDE是等腰直角三角形，從而得出CF=

2

2

CE．

解答：解：過點D作DM∥AB交BC于M，得到?ABDM和等腰△DMC．
∴BM=AD=1，CM=BC-BM=3-1=2．
在△DMC中，∠DMC=∠C=∠B=45°，
∴∠MDC=90°，
∴△MDC是等腰直角三角形．
∴CD=DM=

2

2

CM=

2

，
∴AB=

2

．

①當AB=BE=

2

時，
∵∠B=45°，
∴∠BEA=67.5°，
∴∠FEC=180°-∠BEA-∠AEF=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴∠CFE=180°-∠FEC-∠C=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴CF=CE=BC-BE=3-

2

；

②當AB=AE=

2

時，
∵∠B=45°，
∴∠BEA=45°，∠BAE=90°，
∴BE=

2

AB=2，
∴CE=BC-BE=3-2=1．
又∵∠FEC=180°-∠BEA-∠AEF=180°-45°-45°=90°，∠C=45°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CF=

2

CE=

2

；

③當EA=EB時，
∵∠B=45°，
∴∠BAE=∠B=45°，∠BEA=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE=AE=

2

2

AB=1．
∵AD=1，∠DAE=90°，∠AED=∠AEF=45°，
∴點D與點F重合．
在△CDE中，∠C=∠CED=45°，CE=BC-BE=3-1=2，
∴CF=

2

2

CE=

2

．

點評：本題主要考查了等腰三角形、等腰梯形的性質以及等腰直角三角形的性質和判定．