Question

【題目】已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，△ABC的外角平分線BD交⊙O于D，DE∥AC交CB的延長線于E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若∠A＝30°，求證：BD＝BC．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析．

【解析】分析：（1）連接OD，由OB=OD，得出∠ODB=∠OBD，根據BD是△ABC的外角平分線，推出∠ODB=∠DBE，得到OD∥BE．推出BE⊥DE，根據AB是⊙O的直徑，得到AC⊥CE，根據DE∥AC，即可推出OD⊥DE，從而證得直線DE與⊙O相切．

（2）連接OC，得出△BOC是等邊三角形，再利用平行線的性質得出結果．

本題解析：

解：（1）連接OD，∵OB=OD，∴∠ODB=∠OBD．

∵BD是△ABC的外角平分線，∴∠DBE=∠OBD，∴∠DBE=∠ODB，∴BE∥OD．

∵AB是⊙O的直徑，∴∠C=90°．

∵DE∥AC，∴∠DEB=90°，∴OD⊥DE且點D在⊙O上，∴直線DE與⊙O相切．

（2）連接OC，∵∠A=30°，∴∠BOC=60°，∵OB=OC，∴△BOC是等邊三角形，∴∠OBC=60°，∵BE∥OD，∴∠DOB=60°，∴∠DOB=∠BOC，∴BD=BC．