Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+1與x軸交于兩點A（-1，0），B（1，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）過點B作BD∥CA拋物線交于點D，求四邊形ACBD的面積；
（3）在x軸下方的拋物線上是否存在點M，過M作MN⊥x軸于點N，使以A、M、N為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，則求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）依題意，得：

a-b+1=0 a+b+1=0

，解得

a=-1 b=0

；
∴拋物線的解析式為：y=-x²+1；

（2）易知A（-1，0），C（0，1），則直線AC的解析式為：y=x+1；
由于AC∥BD，可設直線BD的解析式為y=x+h，則有：1+h=0，h=-1；
∴直線BD的解析式為y=x-1；聯立拋物線的解析式得：

y=-x2+1 y=x-1

，解得

x=1 y=0

，

x=-2 y=-3

；
∴D（-2，-3）；
∴S_{四邊形ACBD}=S_△ABC+S_△ABD=

1

2

×2×1+

1

2

×2×3=4；

（3）∵OA=OB=OC=1，
∴△ABC是等腰Rt△；
∵AC∥BD，
∴∠CBD=90°；
易求得BC=

2

，BD=3

2

；
∴BC：BD=1：3；
由于∠CBD=∠MNA=90°，若以A、M、N為頂點的三角形與△BCD相似，則有：
△MNA∽△CBD或△MNA∽△DBC，得：

MN

AN

=

BC

BD

=

1

3

或

MN

AN

=

BD

BC

=3；
即MN=

1

3

AN或MN=3AN；
設M點的坐標為（x，-x²+1），
①當x＞1時，AN=x-（-1）=x+1，MN=x²-1；
∴x²-1=

1

3

（x+1）或x²-1=3（x+1）
解得x=

4

3

，x=-1（舍去）或x=4，x=-1（舍去）；
∴M點的坐標為：M（

4

3

，-

7

9

）或（4，-15）；
②當x＜-1時，AN=-1-x，MN=x²-1；
∴x²-1=

1

3

（-x-1）或x²-1=3（-x-1）
解得x=

2

3

，x=-1（兩個都不合題意，舍去）或x=-2，x=-1（舍去）；
∴M（-2，-3）；
故存在符合條件的M點，且坐標為：M（

4

3

，-

7

9

）或（4，-15）或（-2，-3）．