Question

【題目】如圖（1），直線交x軸于點A，交軸于點C（0，4），拋物線過點A，交y軸于點B（0，-2）.點P為拋物線上一個動點，過點P作x軸的垂線PD，過點B作BD⊥PD于點D，連接PB，設點P的橫坐標為.

（1）求拋物線的解析式；

（2）當△BDP為等腰直角三角形時，求線段PD的長；

（3）如圖（2），將△BDP繞點B 逆時針旋轉，得到△BD′P′，當旋轉角∠PBP′=∠OAC，且點P的對應點P′落在坐標軸上時，請直接寫出點P的坐標.

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為.（2）或.（3）滿足條件的點P的坐標為（， ）、（， ）或（、）.

【解析】（1）先確定出點A的坐標，再用待定系數法求出拋物線解析式；

（2）由△BDP為等腰直角三角形，判斷出BD=PD，建立m的方程計算出m，從而求出PD；（3）分點P′落在x軸和y軸兩種情況計算即可．

解：（1）∵點C（0，4）在直線y=﹣x+n上，

∴n=4，∴y=﹣x+4，

令y=0，∴x=3，∴A（3，0），

∵拋物線y= x2+bx+c經過點A，交y軸于點B（0，﹣2）．

∴c=﹣2，6+3b﹣2=0，

∴b=﹣，

∴拋物線解析式為y=x2﹣x﹣2，

（2）點P為拋物線上一個動點，設點P的橫坐標為m．

∴P（m， m2﹣m﹣2），

∴BD=|m|，PD=|m2﹣m﹣2+2|=|m2﹣m|，

∵△BDP為等腰直角三角形，且PD⊥BD，

∴BD=PD，

∴|m|=|m2﹣m|，

∴m=0（舍），m=，m=，

∴PD=或PD=；

（3）∵∠PBP'=∠OAC，OA=3，OC=4，

∴AC=5，

∴sin∠PBP'=，cos∠PBP'=，

①當點P'落在x軸上時，過點D'作D'N⊥x軸，垂足為N，交BD于點M，

∠DBD'=∠ND'P'=∠PBP'，

如圖1，

ND'﹣MD'=2，

∴（m2﹣m）﹣（﹣m）=2，

∴m=（舍），或m=﹣，

如圖2，

ND'+MD'=2，

∴（m2﹣m）+m=2，

∴m=，或m=﹣（舍），

∴P（﹣， ）或P（， ），

②當點P'落在y軸上時，如圖3，

過點D′作D′M⊥x軸，交BD于M，過P′作P′N⊥y軸，

∴∠DBD′=∠ND′P′=∠PBP′，

∵P′N=BM，

∴（m2﹣m）=m，

∴m=，

∴P（， ）．

∴P（﹣， ）或P（， ）或P（， ）．

“點睛”此題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法求函數解析式，銳角三角函數，等腰直角三角形的性質，解本題的關鍵是構造直角三角形．