Question

（2010•閘北區二模）如圖，在直角坐標平面內有點A（6，0），B（0，8），C（-4，0），點M、N分別為線段AC和射線AB上的動點，點M以2個單位長度/秒的速度自C向A方向作勻速運動，點N以5個單位長度/秒的速度自A向B方向作勻速運動，MN交OB于點P．
（1）求證：MN：NP為定值；
（2）若△BNP與△MNA相似，求CM的長；
（3）若△BNP是等腰三角形，求CM的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點N作NH⊥x軸于點H，然后分兩種情況進行討論，綜合兩種情況，求得MN：NP為定值．
（2）當△BNP與△MNA相似時，當點M在CO上時，只可能是∠MNB=∠MNA=90°，所以△BNP∽△MNA∽△BOA，所以，
所以，，即；當點M在OA上時，只可能是∠NBP=∠NMA，所以∠PBA=∠PMO，根據題意可以判定不成立，所以．
（3）由于等腰三角形的特殊性質，應分三種情況進行討論，即BP=BN，PB=PN，NB=NP三種情況進行討論．
解答：證明：（1）過點N作NH⊥x軸于點H，
設AN=5k，得：AH=3k，CM=2k，
①當點M在CO上時，點N在線段AB上時：
∴OH=6-3k，OM=4-2k，
∴MH=10-5k，
∵PO∥NH，
∴，
②當點M在OA上時，點N在線段AB的延長線上時：
∴OH=3k-6，OM=2k-4，∴MH=5k-10，
∵PO∥NH，
∴；
解：（2）當△BNP與△MNA相似時：
①當點M在CO上時，只可能是∠MNB=∠MNA=90°，
∴△BNP∽△MNA∽△BOA，∴，
∴，，，
②當點M在OA上時，只可能是∠NBP=∠NMA，
∴∠PBA=∠PMO，


∵
∴∠PBA≠∠PMO，矛盾∴不成立；

（3）∵，，∴，，
①當點M在CO上時，BN=10-5k，
（ⅰ）BP=BN，，，；
（ⅱ）PB=PN，則∠PNB=∠PBN，∵∠PNB＞∠BAC＞∠PBN，矛盾，∴不成立；
（ⅲ）NB=NP，則∠NBP=∠NPB
∵∠NPB=∠MNH，∠NBP=∠ANH，∴∠MNH=∠ANH
又∵NH⊥MA，可證△MNA為等腰三角形，
∴MH=AH，∴10-5k=3k，∴，；
②當點M在OA上時，BN=5k-10．
（ⅰ）BP=BN，，，；
（ⅱ）PB=PN或NB=NP∵∠PBN＞90°，∴不成立．
點評：本題主要是滲透分類思想，培養學生的嚴密性思維和解題方法：確定圖形--分析圖形--數形結合--解決問題．