Question

在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延長線于點G．一等腰直角三角尺按如圖1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點為F，一條直角邊與AC邊在一條直線上，另一條直角邊恰好經過點B．
（1）在圖1中請你寫出BF與CG滿足的數量關系，并加以證明；
（2）當三角尺沿AC方向平移到圖2所示的位置時，一條直角邊仍與AC邊在同一直線上，另一條直角邊交BC邊于點D，過點D作DE⊥BA于點E．此時請你通過觀察、測量DE、DF與CG的長度，猜想并寫出DE+DF與CG之間滿足的數量關系，然后證明你的猜想；
（3）當三角尺在（2）的基礎上沿AC方向繼續平移到圖3所示的位置（點F在線段AC上，且點F與點C不重合）時，若AG：AB=5：13，，求DE+DF的值．

Answer 1

解：（1）BF=CG；
證明：在△ABF和△ACG中，
∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC，
∴△ABF≌△ACG（AAS），
∴BF=CG；

（2）DE+DF=CG；
證明：過點D作DH⊥CG于點H（如圖），
∵DE⊥BA于點E，∠G=90°，DH⊥CG，
∴四邊形EDHG為矩形，
∴DE=HG，DH∥BG，
∴∠GBC=∠HDC，
∵AB=AC，
∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，
又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC，
∴△FDC≌△HCD（AAS），
∴DF=CH，
∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG；

（3）仍然成立，
證明：過點D作DH⊥CG于點H（如圖），
∵DE⊥BA于點E，∠G=90°，DH⊥CG，
∴四邊形EDHG為矩形，
∴DE=HG，DH∥EG，
∴∠GBC=∠HDC，
∵AB=AC，
∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，
又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC，
∴△FDC≌△HCD（AAS），
∴DF=CH，
∴GH+CH=DE+DF=CG，
即DE+DF=CG，
∵AG：AB=5：13，設CG=x，
∴AG=x，AC=AB=x，
∴x²+=，
解得，x=8；
∴DE+DF的值為8．
分析：（1）由于有∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC，故由AAS證得△ABF≌△ACG?BF=CG；
（2）過點D作DH⊥CG于點H（如圖）．易證得四邊形EDHG為矩形，有DE=HG，DH∥BG?∠GBC=∠HDC．又有AB=AC?∠FCD=∠GBC=∠HDC．又∠F=∠DHC=90°?CD=DC，可由AAS證得△FDC≌△HCD?DF=CH，有GH+CH=DE+DF=CG．
（3）同（2）可證得DE+DF=CG，由AG：AB=5：13，設CG=x，則AG=x，AC=AB=x，根據勾股定理可得：
x²+=，解得，x=8；即DE+DF的值為8．
點評：本題考查了等腰直角三角形的性質及全等三角形的判定和性質求解；作出輔助線是正確解答本題的關鍵．