Question

閱讀下列材料，按要求回答問題．
（1）觀察下面兩塊三角尺，它們有一個共同的性質：∠A=2∠B，我們由此出發來進行思考．
在圖（1）中作斜邊上的高CD，由于∠B=30°，可知c=2b，∠ACD=30°，于是AD=，BD=c-，由于△CDB∽△ACB，可知，即a²=c•BD．同理b²=c•AD，于是a²-b²=c（BD-AD）=c（c-b）=bc．對于圖（2），由勾股定理有a²=b²+c²，由于b=c，故也有a²-b²=bc．
在△ABC中，如果一個內角等于另一個內角的2倍，我們稱這樣的三角形為倍角三角形，兩塊三角尺都是特殊的倍角三角形，對于任意倍角三角形，上面的結論仍然成立嗎？我們暫時把設想作為一種猜測：
如圖（3），在△ABC中，若∠CAB=2∠ABC，則a²-b²=bc．
在上述由三角尺的性質到“猜測”這一認識過程中，用到了下列四種數學思想方法中的哪一種選出一個正確的并將其序號填在括號內
①分類的思想方法②轉化的思想方法③由特殊到一般的思想方法④數形結合的思想方法
（2）這個猜測是否正確，請證明．

Answer 1

解：（1）③正確．

（2）a²-b²=b•c仍正確
證明：延長CA到D，使AD=AB=c
∴∠BAC=∠D+∠ABD=2∠D
∵∠BAC=2∠ABC
∴∠D=∠ABC
∴△ABC∽△BDC
∴
∴a²=b²+bc，即a²-b²=bc
分析：依據圖（1）、圖（2）的解題思想和方法，要證a²-b²=bc，須三角形相似，由此延長CA到D，使AD=AB，連接BD，易得BC：DC=AC：BC，可求a²-b²=bc
點評：此題既考查相似三角形的判定、性質，又考查輔助線的作法．