Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點為坐標原點．已知：拋物線經過點和點．

（）試判斷該拋物線與軸交點的情況．

（）平移這條拋物線，使平移后的拋物線經過點，且與軸交于點，同時滿足以， ， 為頂點的三角形是等腰直角三角形．請你寫出平移過程，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線與軸有兩個交點；（2）將原拋物線向右平移個單位，再向下平移個單位即可．

【解析】試題分析：（1）把P、Q兩點的坐標代入拋物線解析式可求得a、b的值，可求得拋物線解析式，再根據一元二次方程根的判別式，可判斷拋物線與x軸的交點情況；

（2）利用A點坐標和等腰三角形的性質可求得B點坐標，設出平移后的拋物線的解析式，把A、B的坐標代入可求得平移后的拋物線的解析式，比較平移前后拋物線的頂點的變化即可得到平移的過程．

解：（）將， 代入中得

．

解得： ．

∴拋物線為．

．

．

．

∴拋物線與軸有兩個交點．

一個交在軸正半軸，一個交在軸負半軸，且正半軸交點離原點更遠．

（）∵是等腰直角三角形， ，點在軸上，

∴點坐標為或．

可設平移后的拋物線解析式為．

①當拋物線過點， 時，代入可得．

，解得．

∴平移后的拋物線為．

∴該拋物線的頂點坐標為，而原拋物線頂點坐標為．

∴將原拋物線向右平移個單位，再向上平移個單位即可．

②當拋物線過點， 時，代入可得．

，解得．

∴平移后的拋物線為．

∴該拋物線的頂點坐標為，而原拋物線頂點坐標為．

∴將原拋物線向右平移個單位，再向下平移個單位即可．