Question

某河道上有一個半圓形的拱橋，河兩岸筑有攔水堤壩．其半圓形橋洞的橫截面如圖所示．已知上、下橋的坡面線ME、NF與半圓相切，上、下橋斜面的坡度i=1：3.7，橋下水深=5米．水面寬度CD=24米．設半圓的圓心為O，直徑AB在坡角頂點M、N的連線上．求從M點上坡、過橋、下坡到N點的最短路徑長．（參考數據：π≈3，≈1.7，tan15°=）

Answer 1

【答案】分析：首先明確從M點上坡、過橋、下坡到N點的最短路徑長應為如圖ME++FN，連接如圖，把實際問題轉化為直角三角形問題，由已知求出OD即半徑，再由坡度i=1：3.7和tan15°==1：3.7，得出∠M=∠N=15°，因此能求出ME和FN，所以求出∠EOM=∠FON=90°-15°=75°，則得出所對的圓心角∠EOF，相繼求出弧EF的長，從而求出從M點上坡、過橋、下坡到N點的最短路徑長．
解答：解：連接FO、EO、DO，
已知CD=24，0P=5，∴PD=12，
∴OD²=OP²+PD²=5²+12²=169，
∴OD=13，則OE=OF=13，
已知坡度i=1：3.7和tan15°==1：3.7，
∴∠M=∠N=15°，
∴cot15°==2+，
∵上、下橋的坡面線ME、NF與半圓相切，
∴tan∠M=，
∴ME=FN==13×（2+）=26+13，
∠EOM=∠FON=90°-15°=75°，
∴∠EOF=180°-75°-75°=30°，
∴==π，
∴ME++FN=26+13+π+26+13≈102.7．
答：從M點上坡、過橋、下坡到N點的最短路徑長為102.7米．
點評：此題考查的知識點是解直角三角形的應用，解題的關鍵是由已知先求出半圓的半徑和∠M和∠N，再由直角三角形求出MF和FN，求出弧EF的長．