Question

【題目】如圖，是的直徑，為的弦，，與的延長線交于點，點在上， 滿足．

（1）求證：是的切線；

（2）若，， 求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

（1）連接OB，如圖，根據圓周角定理得到∠ABD=90°，再根據等腰三角形的性質和已知條件證出∠OBC=90°，即可得出結論；

（2）根據圓周角定理得到∠ABD=90°，得到∠A=60°，求得∠E=30°，根據等腰三角形的性質得到CE=CB，根據三角形外角的性質得到∠BCO=60°，解直角三角形即可得到結論．

（1）證明：連接OB，如圖，

∵AD是⊙O的直徑，

∴∠ABD=90°，

∴∠A+∠ADB=90°，

∵OA=OB，

∴∠A=∠OBA，

∵∠CBE=∠ADB，

∴∠OBA+∠CBE=90°，

∴∠OBC=180°-90°=90°，

∴BC⊥OB，

∴BC是⊙O的切線；

（2）∵AD是⊙O的直徑，

∴∠ABD=90°，

∴∠A=60°，

∵OE⊥AD，

∴∠AOE=90°，

∴∠E=30°，

∵∠CBE=30°，

∴∠CBE=∠E=30°，

∴CE=CB，

∴∠BCO=60°，

在中

∴BC=OB=，

∴CE=．