Question

（2013•余姚市模擬）函數(shù)y=

k

x

和y=-

k

x

（k≠0）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，我們把函數(shù)y=

k

x

和y=-

k

x

（k≠0）叫做互為“鏡子”函數(shù)．類(lèi)似地，如果函數(shù)y=f（x）和y=h（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，那么我們就把函數(shù)y=f（x）和y=h（x）叫做互為“鏡子”函數(shù)．
（1）請(qǐng)寫(xiě)出函數(shù)y=3x-4的“鏡子”函數(shù)：

y=-3x-4

；
（2）函數(shù)

y=x²+2x+3

的“鏡子”函數(shù)是y=x²-2x+3；
（3）如圖，一條直線與一對(duì)“鏡子”函數(shù)y=

2

x

（x＞0）和y=-

2

x

（x＜0）的圖象分別交于點(diǎn)A、B、C，如果CB：AB=1：2，點(diǎn)C在函數(shù)y=-

2

x

（x＜0）的“鏡子”函數(shù)上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是

1

2

，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征：縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．則兩個(gè)解析式的k值應(yīng)互為相反數(shù)，得出答案即可；
（2）函數(shù)y=x²-2x+3的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的拋物線x互為相反數(shù)，y不變，得y=（-x）²-2（-x）+3=x²+2x+3，即可．
（3）首先作CC'、BB'、AA'垂直于x軸，再利用設(shè)點(diǎn)B(m，

2

m

)、A(n，

2

n

)，得出A'B'=n-m，B′C′=m+

1

2

，即可得出等式方程，求出m的值即可．

解答：解：（1）利用關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征：縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)得出：
函數(shù)y=3x-4的“鏡子”函數(shù)：y=-3x-4；
故答案為：y=-3x-4；

（2）y=x²-2x+3的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的拋物線x互為相反數(shù)，y不變．得
y=（-x）²-2（-x）+3=x²+2x+3．
故答案為：y=x²+2x+3；

（3）過(guò)點(diǎn)C作CC'垂直于x軸，垂足為C'，過(guò)點(diǎn)B作BB'垂直于x軸，垂足為B'，過(guò)點(diǎn)A作AA'垂直于x軸，垂足為A'．
設(shè)點(diǎn)B(m，

2

m

)、A(n，

2

n

)，其中m＞0，n＞0． 
由題意，得 點(diǎn)C(-

1

2

，4)．
∴CC'=4，BB′=

2

m

，AA′=

2

n

，
A'B'=n-m，B′C′=m+

1

2

．
易知 CC'∥BB'∥AA'，
又CB：AB=1：2，
所以，可得 

n-m=2(m+ 1 2 ) 2 m - 2 n = 2 3 (4- 2 n )

，
化簡(jiǎn)，得

n-3m=1 1 m - 1 3n = 4 3

，
解得 m=

1± 10

6

（負(fù)值舍去），
∴

2

m

=

4 10 -4

3

，
∴B(

1+ 10

6

，

4 10 -4

3

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合、一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象與幾何變換的知識(shí)，根據(jù)已知利用平行線分線段成比例定理得出等式方程是解題關(guān)鍵．