Question

如圖，在邊長為12cm的等邊三角形ABC中，點P從點A開始沿AB邊向點B以每秒鐘1cm的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以每秒鐘2cm的速度移動．若P、Q分別從A、B同時出發，其中任意一點到達目的地后，兩點同時停止運動，求：
（1）經過6秒后，BP=

6

 cm，BQ=

12

cm；
（2）經過幾秒后，△BPQ是直角三角形？
（3）經過幾秒△BPQ的面積等于10

3

cm²？

Answer 1

分析：（1）根據路程=速度×時間，求出BQ，AP的值就可以得出結論；
（2）先分別表示出BP，BQ的值，當∠BQP和∠BPQ分別為直角時，由等邊三角形的性質就可以求出結論；
（3）作QD⊥AB于D，由勾股定理可以表示出DQ，然后根據面積公式建立方程求出其解即可．

解答：解：（1）由題意，得
AP=6cm，BQ=12cm．
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=12cm，
∴BP=12-6=6cm．

（2）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=12cm，∠A=∠B=∠C=60°，
當∠PQB=90°時，
∴∠BPQ=30°，
∴BP=2BQ．
∵BP=12-x，BQ=2x，
∴12-x=2×2x，
∴x=

12

5

，
當∠QPB=90°時，
∴∠PQB=30°，
∴BQ=2PB，
∴2x=2（12-x），
x=6
答6秒 或

12

5

秒時，△BPQ是直角三角形；

（3）作QD⊥AB于D，
∴∠QDB=90°，
∴∠DQB=30°，
∴DB=

1

2

BQ=x，
在Rt△DBQ中，由勾股定理，得
DQ=

3

x，
∴

(12-x) 3 x

2

=10

3

，
解得；x₁=10，x₂=2，
∵x=10時，2x＞12，故舍去
∴x=2．
答：經過2秒△BPQ的面積等于10

3

cm²．
故答案為：6、12．

點評：本題考查了動點問題的運用，等邊三角形的性質的運用，30°的直角三角形的性質的運用，勾股定理的運用，三角形的面積公式的運用，解答時建立根據三角形的面積公式建立一元二次方程求解是關鍵．