Question

（本題滿分12分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，過點D作⊙O的切線，交BC于點E.

1.（1）求證：點E是邊BC的中點；（4分）

2.（2）若EC=3，BD=，求⊙O的直徑AC的長度；（4分）

3.（3）若以點O，D，E，C為頂點的四邊形是正方形，試判斷△ABC的形狀，并說明理由. （4分）

 

Answer 1

 

1.（1）證明：連接DO，

∵∠ACB=90°，AC為直徑， ∴EC為⊙O的切線，

又∵ED也為⊙O的切線，  ∴EC=ED.     （2分）

又∵∠EDO=90°，  ∴∠BDE+∠ADO=90°，

∴∠BDE+∠A=90°，

又∵∠B+∠A=90°  ∴∠BDE=∠B， ∴EB=ED.

∴EB=EC，即點E是邊BC的中點.   

2.（2）∵BC，BA分別是⊙O的切線和割線，

∴BC²=BD·BA， ∴（2EC）²= BD·BA，即BA·=36，∴BA=，    （6分）

在Rt△ABC中，由勾股定理得 AC===.

3.（3）△ABC是等腰直角三角形.   （9分）

理由：∵四邊形ODEC為正方形， ∴∠DOC=∠ACB=90°，即DO∥BC，

又∵點E是邊BC的中點， ∴BC=2OD=AC, 

 ∴△ABC是等腰直角三角形.     （12分）

 

解析:略