Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，AC=BC，弦CD與AB交于E，AB=CD，過A作AF⊥BC于F.

（1）判斷AC與BD的位置關系，并說明理由；

（2）求證：AC=2CF+BD；

（3）若S△CFA=S△CBD，求tan∠BDC的值.

Answer 1

【答案】（1）AC∥BD，見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）連接BD和AD，根據圓心角、弦和圓心角的關系，即可判斷.

（2）在BC上找一點M，使得BM=BD，根據圓周角定理判斷出AD和AC的關系，然后根據三角形全等判斷AD和AM的關系，從而得出AM=AC，再根據三線合一，判斷出CF=FM，從而得出結論.

（3）分別過點B和點C 向AC和DB作垂線，根據平行線間的距離相等，得出BN=CG，再根據兩三角形面積相等，即可判斷出BD和CF的關系，再結合第（2）問，可以得出F點是BC的三等分點，然后設出CF的邊長為m，用m將AF和BF表示出來，根據圓周角定理及其推論得出∠CDB=∠ABF，然后代入即可計算.

解：（1）AC∥BD.

連接AD，BD，

∵AB=CD,

∴∠CAD=∠CBD,

又∵∠DAB=∠BCD，

∴∠CAB=∠ACD，

∵∠CAB=∠CDB

∴∠ACD=∠CDB

∴AC∥BD.

（2）在BC上找一點M，使BM=BD，

連接AM，AD

∵AC∥BD，

∴∠ACD=∠CDB，

∴AD=BC，

又∵AC=BC，

∴AD=AC，

∴∠ABD=∠ABM，

∵BA=BA

∴△AMB≌ADB，

∴AM=AD，

∴AM=AC

又∵AF⊥BC，

∴CF=FM

∵BC=CF+FM+MB=2CF+MB=2CF+BD

∵AC=BC，

∴AC=2CF+BD.

過B點向AC做垂線，垂足為N，

連接DB并延長DB，過C點向DB作垂線，與DB延長線交于點G，由圖可知CG即為

△CBD的高.

∵AC=BC，

∴BD=AF，

∵AC∥DB，

∴BN=CG，

∴BN=CG，

AF=CG，

又∵S△CFA=S△CBD，

∴BD=CF，

∵BC=2CF+BD.

∴BC=3CF，

設CF為m，則AC=3m，BF=BC-CF=2m，

∵AC=BC,

∴∠BDC=∠ABF