Question

【題目】在△ABC中，AB=AC，點D是直線BC上一點（不與B、C重合），以AD為一邊在AD的右側作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE．

（1）如圖1，當點D在線段BC上，如果∠BAC=90°，則∠BCE=　　度；

（2）設∠BAC=α，∠BCE=β．

①如圖2，當點D在線段BC上移動，則α，β之間有怎樣的數量關系？請說明理由；

②當點D在直線BC上移動，則α，β之間有怎樣的數量關系？請直接寫出你的結論．

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）①α+β=180°，理由見解析；②當點D在射線BC上時，α+β=180°；當點D在射線BC的反向延長線上時，α=β．

【解析】（1）問要求∠BCE的度數，可將它轉化成與已知角有關的聯系，根據已知條件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE，再根據全等三角形中對應角相等，最后根據直角三角形的性質可得出結論；（2）問在第（1）問的基礎上，將α+β轉化成三角形的內角和；（3）問是第（1）問和第（2）問的拓展和延伸，要注意分析兩種情況．

解：（1）90°．

理由：∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC．

即∠BAD=∠CAE．

在△ABD與△ACE中，

AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠B=∠ACE．

∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，

∴∠BCE=∠B+∠ACB，

又∵∠BAC=90°，

∴∠BCE=90°；

（2）①α+β=180°，

理由：∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC．

即∠BAD=∠CAE．

在△ABD與△ACE中，

AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠B=∠ACE．

∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．

∴∠B+∠ACB=β，

∵α+∠B+∠ACB=180°，

∴α+β=180°；

②當點D在射線BC上時，α+β=180°；

理由：∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAD=∠CAE，

∵在△ABD和△ACE中，

AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD=∠ACE，

∵∠BAC+∠ABD+∠BCA=180°，

∴∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°，

∴α+β=180°；

當點D在射線BC的反向延長線上時，α=β．

理由：∵∠DAE=∠BAC，

∴∠DAB=∠EAC，

∵在△ADB和△AEC中，

AD=AE，∠DAB=∠EAC，AB=AC，

∴△ADB≌△AEC（SAS），

∴∠ABD=∠ACE，

∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠BCE+∠ACB，

∴∠BAC=∠BCE，

即α=β．

“點睛”本題考查三角形全等的判定，以及全等三角形的性質；兩者綜合運用，促進角與角相互轉換，將未知角轉化為已知角是關鍵．本題的亮點是由特例引出一般情況．