Question

如圖，已知三角形ABC中，∠B=90°，O是AB上一點，以O為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點E，與AC切于點D．
（1）求證：DE∥OC；
（2）若AD=2，DC=3，求tan∠ADE的值．

Answer 1

分析：（1）要證DE∥OC，即證∠BOC=∠OED，由已知條件可以得出；
（2）由DE∥OC，可知，∠ADE=∠DCO，在直角△ODC中求tan∠DCO的值，關鍵求半徑OD，由切割線定理可以求出半徑的值．

解答：（1）證明：連接OD，則OD⊥AC，
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∵OC=OC，OD=OB，
∴△ODC≌△OBC，
∴∠DOC=∠BOC；
∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∵∠DOB=∠ODE+∠OED，
∴∠BOC=∠OED，
∴DE∥OC；

（2）解：在△ABC中，
∵∠ABC=90°，
AC=AD+DC=5，
BC=DC=3，
∴AB=4，
∵AD是⊙O的切線，
∴AD²=AE•AB，
∴AE=1，
∴BE=3，
∴OE=OD=1.5，
在直角△ODC中，
tan∠DCO=

OD

DC

=

1.5

3

=

1

2

，
∵DE∥OC，
∴∠ADE=∠DCO=1：2．

點評：求三角函數的值時，通常是根據定義，放到直角三角形當中去求．