Question

【題目】動手操作：請按要求作圖．（規范作圖，保留作圖痕跡即可，不要求尺規作圖）

（）如圖（），是內一定點， 為射線邊上一定點，請在射線上找一點，使得最小．

（）如圖（），是內一定點，點、分別為射線、邊上兩個動點，請作出使得最小的點和點．

（）如圖（），是內一定點，點、分別為射線、邊上兩個動點，請作出使得最小的點和點．

拓展應用：

（）如圖（），為銳角三角形， ， ， 的面積為，點、、分別為三邊、、上的三個動點，請在圖中作出滿足條件的周長最小的，并求出周長的最小值．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）作圖見解析；（3）作圖見解析；（4）作圖見解析， 的周長有最小值為11.

【解析】試題分析：（1）作點P關于直線AB的對稱點P^'，連接P^' F交AB于E，則此時PE+EF最小；

（2）作點P關于直線AB的對稱點M，連接MP交AB于點N，過點M作MF⊥BC于F交AB于E，則此時PE+EF最小；

（3）作點P關于直線AB的對稱點M，關于直線BC的對稱點N，連接MN交AB于E，交BC于F，則此時PE+EF+PE最小；

（4）作點P關于線段AB的對稱點M，關于直線BC的對稱點N，連接MN交AB于E，交BC于點F，則此時△PEF的周長為MN的長度．

試題解析：解：（1）如圖①，作點P關于直線AB的對稱點P^'，連接P^' F交AB于E，則此時PE+EF最小；

（）如圖②，作點P關于直線AB的對稱點M，連接MP交AB于點N，過點M作MF⊥BC于F交AB于E，則此時PE+EF最小；

（3）如圖③，作點P關于直線AB的對稱點M，關于直線BC的對稱點N，連接MN交AB于E，交BC于F，則此時PE+EF+PE最小；

（4）如圖④，作點P關于線段AB的對稱點M，關于直線BC的對稱點N，連接MN交AB于E，交BC于點F，則此時△PEF的周長為MN的長度．

∵∠ABC=30°，∴∠MBN=60°且BM=BP=BN，∴△MBN為等邊三角形，∴當BP⊥AC時，MN有最小值，即△PEF的周長有最小值， ．