Question

（1）如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，∠ABC的平分線BG，交AD于點E，EF⊥AB，垂足為F．
①若∠BAD=20°，則∠C=

70°

．
②求證：EF=ED．
（2）如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分線交AB于E，D為垂足，連接EC．
①求∠ECD的度數；
②若CE=5，求BC長．

Answer 1

分析：（1）①根據等腰三角形三線合一的性質可得AD⊥BC，且∠CAD=∠BAD，再根據直角三角形兩銳角互余列式計算即可得解；
②根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等證明即可；
（2）①根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AE=CE，然后根據等邊對等角可得∠ECD=∠A；
②根據三角形內角和等于180°分別求出∠B=72°，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠BEC=72°，然后根據等角對等邊的性質解答．

解答：解：（1）①∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，
∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAD，（等腰三角形三線合一）
∵∠BAD=20°，
∴∠CAD=20°，
∴∠C=90°-∠CAD=90°-20°=70°；
②∵AD⊥BC，EF⊥AB，BG平分∠ABC，
∴EF=ED；

（2）①∵ED垂直平分AC，
∴AE=CE，
∴∠ECD=∠A，
∵∠A=36°，
∴∠ECD=36°；
②∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=

1

2

（180°-36°）=72°，
∵∠ECD=∠A=36°，
∴∠BEC=∠ECD+∠A=36°+36°=72°，
∴∠B=∠BEC，
∴BC=CE，
∵CE=5，
∴BC=5．

點評：本題考查了等腰三角形三線合一的性質，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質，等邊對等角以及等角對等邊的性質，綜合題，但難度不大，結合圖形仔細分析題目不難解決．