Question

已知，如圖，在平面直角坐標系中，點A坐標為(－2，0)，點B坐標為 （0，2 ），點E為線段AB上的動點(點E不與點A，B重合)，以E為頂點作∠OET=45°，射線ET交線段OB于點F，C為y軸正半軸上一點，且OC=AB，拋物線y=x²+mx+n的圖象經過A，C兩點.

（1） 求此拋物線的函數表達式；

（2） 求證：∠BEF=∠AOE；

（3） 當△EOF為等腰三角形時，求此時點E的坐標；

（4） 在（3）的條件下，當直線EF交x軸于點D，P為（1） 中拋物線上一動點，直線PE交x軸于點G，在直線EF上方的拋物線上是否存在一點P，使得△EPF的面積是△EDG面積的（） 倍.若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

溫馨提示：考生可以根據題意，在備用圖中補充圖形，以便作答.

 

Answer 1

【答案】

（1）y=－x²－x+2（2）證明見解析（3）E坐標為E(－1， 1)或E(－， 2－)（4）P(0， 2)或P （－1， 2）

【解析】解：（1）∵A （－2， 0）， B （0， 2），∴OA=OB=2 。

∴AB²=OA²+OB²=2²+2²=8。∴AB=2。

∵OC=AB，∴OC=2， 即C （0， 2）。

∵拋物線y=-x²+mx+n的圖象經過A、C兩點，得

，解得：。

∴拋物線的表達式為y=－x²－x+2。

（2）證明：∵OA=OB，∠AOB=90° ，∴∠BAO=∠ABO=45°。

   又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE，∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF ，∴∠BEF=∠AOE。

（3）當△EOF為等腰三角形時，分三種情況討論

①當OE=OF時， ∠OFE=∠OEF=45°，

在△EOF中， ∠EOF=180°－∠OEF－∠OFE=180°－45°－45°=90°。

又∵∠AOB＝90°，則此時點E與點A重合， 不符合題意， 此種情況不成立。

②如圖①，

 當FE=FO時，∠EOF=∠OEF=45°。

在△EOF中，∠EFO=180°-∠OEF-∠EOF=180°-45°-45°=90°，

∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°。∴EF∥AO。

∴ ∠BEF=∠BAO=45° 。

又∵ 由 (2) 可知 ，∠ABO=45°，∴∠BEF=∠ABO。

∴BF=EF。∴EF=BF=OF=OB=×2＝1 。∴ E(－1， 1)。

③如圖②， 當EO=EF時， 過點E作EH⊥y軸于點H ，

在△AOE和△BEF中，

∵∠EAO=∠FBE， EO=EF， ∠AOE=∠BEF，

 ∴△AOE≌△BEF（AAS）。∴BE=AO=2。

∵EH⊥OB ，∴∠EHB=90°。∴∠AOB=∠EHB。

∴EH∥AO。 ∴∠BEH=∠BAO=45°。

在Rt△BEH中， ∵∠BEH=∠ABO=45° ，∴EH=BH=BEcos45°=2×=。

∴OH=OB－BH=2－2。∴ E(－， 2－)。

綜上所述， 當△EOF為等腰三角形時，點E坐標為E(－1， 1)或E(－， 2－)。

（4） P(0， 2)或P （－1， 2）。

（1）應用勾股定理求出點C的坐標，根據點在曲線上，點的坐標滿足方程的關系，用待定系數法求出拋物線的函數表達式。

（2）應用等腰直角三角形等邊對等角的性質可證。

（3）分OE=OF，FE=FO，EO=EF三種情況討論即可。

（4）假設存在這樣的點P。當直線EF與x軸有交點時，由（3）知，此時E(－， 2－)。

如圖③所示，過點E作EH⊥y軸于點H，

則OH=FH=2－。

由OE=EF，易知點E為Rt△DOF斜邊上的中點，即DE=EF。

過點F作FN∥x軸，交PG于點N。

易證△EDG≌△EFN，因此S_△EFN=S_△EDG。

依題意，可得S_△EPF=（）S_△EDG=（）S_△EFN，

∴PE：NE=。

過點P作PM⊥x軸于點M，分別交FN、EH于點S、T，則ST=TM=2－。

∵FN∥EH，∴PT：ST=PE：NE=。

∴PT=（）ST=（）（2－）=3－2。

∴PM=PT+TM=2，即點P的縱坐標為2。

∴2=－x²－x+2，解得x₁=0，x₂=－1。

∴P點坐標為(0， 2)或（－1， 2）。

綜上所述，在直線EF上方的拋物線上存在點P，使得△EPF的面積是△EDG面積的（）倍，點P的坐標為(0， 2)或（－1， 2）。