Question

（2007•臨夏州）[（1）-（3），10分]如圖，已知等邊△ABC和點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P到△ABC三邊AB、AC、BC（或其延長(zhǎng)線）的距離分別為h₁、h₂、h₃，△ABC的高為h．
在圖（1）中，點(diǎn)P是邊BC的中點(diǎn)，此時(shí)h₃=0，可得結(jié)論：h₁+h₂+h₃=h．
在圖（2）--（5）中，點(diǎn)P分別在線段MC上、MC延長(zhǎng)線上、△ABC內(nèi)、△ABC外．
（1）請(qǐng)?zhí)骄浚簣D（2）--（5）中，h₁、h₂、h₃、h之間的關(guān)系；（直接寫出結(jié)論）
（2）證明圖（2）所得結(jié)論；
（3）證明圖（4）所得結(jié)論．
（4）在圖（6）中，若四邊形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60°，RS=n，BC=m，點(diǎn)P在梯形內(nèi)，且點(diǎn)P到四邊BR、RS、SC、CB的距離分別是h₁、h₂、h₃、h₄，橋形的高為h，則h₁、h₂、h₃、h₄、h之間的關(guān)系為：

m（h₁+h₂+h₃）-n（h₁+h₃-h₄）=（m+n）h

；圖（4）與圖（6）中的等式有何關(guān)系？

Answer 1

分析：（1）圖②-⑤中的關(guān)系依次是h₁+h₂+h₃=h； h₁-h₂+h₃=h； h₁+h₂+h₃=h；h₁+h₂-h₃=h． 
（2）解直角三角形得出h₁=BPsin60°，h₂=PCsin60°，h₃=0，求出h₁+h₂+h₃=ACsin60°，即可得出答案；
（3）根據(jù)三角形面積公式和等邊三角形性質(zhì)得出

1

2

BC×AM=

1

2

AB×PD+

1

2

AC×PE+

1

2

BC×PF，AB=BC=AC，即可得出答案；
（4）連接CP，BP，RP，過(guò)R作RQ⊥BC于Q，求出BR、CS，根據(jù)面積公式求出即可．

解答：解：（1）圖②-⑤中的關(guān)系依次是：
h₁+h₂+h₃=h； h₁-h₂+h₃=h； h₁+h₂+h₃=h；h₁+h₂-h₃=h．    
           
（2）圖②中，h₁+h₂+h₃=h．
證明：∵h(yuǎn)₁=BPsin60°，h₂=PCsin60°，h₃=0，
∴h₁+h₂+h₃=BPsin60°+PCsin60°
=BCsin60°
=ACsin60°
=h．                                    
（3）證明：如圖，

連接AP、BP、CP，
S_△ABC=S_△PAC+S_△PBC+S_△PAB，
∴

1

2

BC×AM=

1

2

AB×PD+

1

2

AC×PE+

1

2

BC×PF，
∵AB=BC=AC，
∴PD+PE+PF=AM，
即h₁+h₂+h₃=h；

（4）
連接CP，BP，RP，過(guò)R作RQ⊥BC于Q，
則RQ∥SF，
∵RS∥BC，
∴四邊形RQFS是平行四邊形，
∴RS=QF=n，
∵梯形RBCS是等腰梯形，
∴BQ=FC=

1

2

（m-n），
∵∠B=∠C=60°，
∴BR=CS=2BQ=（m-n），
∴S_梯形BCRS=S_△BRP+S_△BCP+S_△CSP+S_△RPS，
∴

1

2

•（m-n）•h₁+

1

2

•m•h₂+

1

2

•（m-n）•h₃+

1

2

•n•h₄=

1

2

（m+n）h
∴（m-n）h₁+mh₂+（m-n）h₃+nh₄=（m+n）h，
m（h₁+h₂+h₃）-n（h₁+h₃-h₄）=（m+n）h，
∴圖（4）與圖（6）中的等式有當(dāng)n=0時(shí)，圖形（6）的等式就變成圖形（4）的等式，
故答案為：m（h₁+h₂+h₃）-n（h₁+h₃-h₄）=（m+n）h．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形面積，平行四邊形性質(zhì)和判定，等腰梯形性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算的能力，題目比較好，由一定的難度．