Question

【題目】如圖，菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，點M是AD的中點，點P由點A出發，沿A→B→C→D作勻速運動，到達點D停止，則△APM的面積y與點P經過的路程x之間的函數關系的圖象大致是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

分類討論：當0≤x≤2，如圖1，作PH⊥AD于H，AP=x，根據菱形的性質得∠A=60°，AM=1，則∠APH=30°，根據含30度的直角三角形三邊的關系得到在RtAH=x，PH=x，然后根據三角形面積公式得y=AMPH=x；當2＜x≤4，如圖2，作BE⊥AD于E，AP+BP=x，根據菱形的性質得∠A=60°，AM=1，AB=2，BC∥AD，則∠ABE=30°，在Rt△ABE中，根據含30度的直角三角形三邊的關系得AE=1，PH=，然后根據三角形面積公式得y=AMBE=；

當4＜x≤6，如圖3，作PF⊥AD于F，AB+BC+PC=x，則PD=6-x，根據菱形的性質得∠ADC=120°，則∠DPF=30°，在Rt△DPF中，根據含30度的直角三角形三邊的關系得DF=（6-x），PF=DF=（6-x），則利用三角形面積公式得y=AMPF=-x+，最后根據三個解析式和對應的取值范圍對各選項進行判斷．

當點P在AB上運動時，即0≤x≤2，如圖1，

作PH⊥AD于H，AP=x，

∵菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，點M是AD的中點，

∴∠A=60°，AM=1，

∴∠APH=30°，

在Rt△APH中，AH=AP=x，

PH=AH=x，

∴y=AMPH=×1×x=x；

當點P在BC上運動時，即2＜x≤4，如圖2，

作BE⊥AD于E，AP+BP=x，

∵四邊形ABCD為菱形，∠B=120°，

∴∠A=60°，AM=1，AB=2，BC∥AD，

∴∠ABE=30°，

在Rt△ABE中，AE=AB=1，

PH=AE=，

∴y=AMBE=×1×=；

當點P在CD上運動時，即4＜x≤6，如圖3，

作PF⊥AD于F，AB+BC+PC=x，則PD=6-x，

∵菱形ABCD中，∠B=120°，

∴∠ADC=120°，

∴∠DPF=30°，

在Rt△DPF中，DF=DP=（6-x），

PF=DF=（6-x），

∴y=AMPF=×1×（6-x）=（6-x）=-x+，

∴△APM的面積y與點P經過的路程x之間的函數關系的圖象為三段：當0≤x≤2，圖象為線段，滿足解析式y=x；當2≤x≤4，圖象為平行于x軸的線段，且到x軸的距離為；當4≤x≤6，圖象為線段，且滿足解析式y=-x+．

故選B．