Question

如圖，將OA=8，AB=6的矩形OABC放置在平面直角坐標系中，動點M，N以每秒1個單位的速度分別從點A，C同時出發，其中點M沿AO向終點O運動，點N沿CB向終點B運動，當兩個動點運動了t秒時，過點N作NP⊥BC，交OB于點P，連接MP．
（1）點B的坐標為______；用含t的式子表示點P的坐標為______；
（2）記△OMP的面積為S，求S與t的函數關系式（0＜t＜8），并求當t為何值時，S有最大值？若有，求出這個最大值；
（3）試探究：在上述運動過程中，是否存在某一個時刻，△OPM是等腰三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）延長NP到OA于一點G，
∵NP⊥BC，
∴PG⊥AO，
∵OA=8，AB=6，
∴

PG

GO

=

AB

AO

=

6

8

=

3

4

，
∵CN=t，
∴PG=

3

4

t，
∴B（8，6），P（t，

3

4

t）；


（2）∵PG=

3

4

t，OM=8-t，
∴S=

1

2

(8-t)×

3

4

t=-

3

8

t2+3t（0＜t＜8），
當t=4時，S有最大值，最大值為6．

（3）當OP=PM時，有8-t=2t，
解得：t=

8

3

，∴M（

16

3

，0）；
當OP=OM時，有8-t=

5

4

t，
解得：t=

32

9

，∴M（

40

9

，0）；
當OM=PM時，有2×

4

5

(8-t)=

5

4

t，
解得：t=

256

57

，∴M（

200

57

，0）．
綜上所述，M的坐標為（

16

3

，0）或（

40

9

，0）或（

200

57

，0）．